Extrema von x^(n+1) * e^-x?
Hallo ich bin grad dabei die Extrema von obiger Funktion auszurechnen und habe sie bei 0 und n+1 gefunden. Allerdings kommt das dann nicht mit dem hinreichenden Kriterium hin. Kann mir jemand sagen, ob ich evtl was falsch gemacht habe und wie man das hinreichende Kriterium hier durchführt?
Lg
2 Antworten
Die erste Ableitung lautet: f1 = (n+1)x^n* e^-x - x^(n+1) * e^-x (Produktregel)
Die zweite Ableitung lautet: f2 = n*(n+1)x^(n-1)* e^-x + x^(n+1) * e^-x
Für das notwendige Kriterium für Extrema muss f1 = 0 und für das hinreichende muss f2 ungleich 0 (also <0 für Maxima oder >0 für Minima) gelten.
Zunächst schauen wir uns das notwendige an: f1 = 0 = (n+1)x^n* e^-x - x^(n+1) * e^-x
<=> (n+1)x^n = x^(n+1) <=> n+1 = x.
Das heißt, dass das eine Nullstelle von f1 x = n + 1 und die andere 0 ist (denn x = 0 in (n+1)x^n = x^(n+1) eingesetzt geht auf). Ob beide aber Extrema (und nicht z. B. Wendepunkte sind), ist hier aber noch nicht klar.
Nun überprüfen wir das hinreichende Kriterium: f2(x=0) = 0. Das heißt, dass x = 0 kein Extremum, sondern ein Wende- oder Sattelpunkt ist. x = n + 1 dürfte aber für n > -1 ein Minimum sein, dann f2( x = n + 1, n > -1) > 0. Für n = -1 wäre es ein Wende- oder Sattelpunkt und für n < -1 wäre es ein Maximum.
Ja, hast Recht. Bei der zweiten Ableitung f2 habe ich vergessen, die Produktregel für beide Summanden anzuwenden.
Es gilt also: f2 = n*(n+1)*x^(n-1)*e^(-x) - 2*(n+1)*x^n*e^(-x) + x^(n+1)*e^(-x) = x^(n-1)*e^(-x) * (n(n+1) - 2(n+1)x + x^2)
Überprüfen wir die beiden Nullstellen von f1 x1 = 0 und x2 = n+1 also nochmal (ob sie auch Extrema von f sind). Für n<1 haben wir eine Definitionslücke, denn x^(n-1) würde für x1 eine Division durch 0 bedeuten. Für n=1 würde f2(x1) = 2 lauten. x1 für n = 1 wäre also ein Minimum von f. Für n>1 wäre f2(x1) = 0, x1 für n>1 wäre demnach ein Wende- oder Sattelpunkt von f.
Nun kommen wir zur Überprüfung von x2 = n+1. Hier gibt es eine Definitionslücke für n = -1. Ansonsten wäre f2 für n< (-1) negativ. Für n< (-1) wäre x2 demnach ein Maximum von f. Aus analogem Grund wäre x2 für n>(-1) ein Minimum von f.
Nutze das Vorzeichenkriterium statt der hinreichenden Bedingung. Bei x=0 hängt es z. B. vom n ab, ob dort eine Extrem- oder Wendestelle ist.
Kannst du mir sagen wie du die zweite Ableitung bestimmt hast? Ich komme da auf -e^-x* ( (n+1)*x^n -x^(n+1)) +e^-x* ( (n+1)*n*x^(n-1) -(n+1)*x^n)
Tut mir leid wenn das etwas schwer zu lesen ist…