Potenzreihe innerhalb von Konvergenzradius stetig?

Moin, ich soll beweisen, dass eine Funktion f : (-R, R) -> Reele Zahlen, wobei $f\left(x\right)\ :=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ und R der Konvergenzradius der Potenzreihe ist, stetig ist.

Zu der Aufgabe gibt es noch einen Hinweis, man soll ein r > 0, wählen, sodass $\left|x_0\right|<r<R$ (wobei x_0 beliebig aus dem Intervall (-R, R) ist)

Dann soll man zeigen, dass ein N (Element der natürlichen Zahlen) existiert, sodass für alle x mit |x| < r gilt: $\sum_{_{n=N+1}}^{\infty}a_n\left|x\right|^n<\frac{\epsilon}{3}$ Das ist ja ziemlich offensichtlich, x ist kleiner als der Konvergenzradius, die Potenzreihe konvergiert also, d.h. die einzelnen Summen kommen immer näher an 0.

Jetzt soll man folgenden Schluss ziehen: $|f(x)-f(x_0)|\le\left|\sum_{n=0}^Na_nx^n-\sum_{n=0}^Na_nx_0^n\right|+\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n|x|^n+\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n|x_0|^n$

Mein Ansatz wäre jetzt, das N für beide Potenzreihen (x und x_0) zu finden, und dann N = max(N_1, N_2) zu nehmen. Dann müssten ja schonmal die letzten beiden Teile der rechten Seite der Ungleichung jeweils kleiner als epsilon/3 sein.

Wenn ich das epsilon-delta-kriterium richtig verstanden habe, muss ich jetzt noch ein delta wählen, sodass $\left|\sum_{n=0}^Na_nx^n-\sum_{n=0}^Na_nx_0^n\right|<\frac{\epsilon}{3}$ und ich bin fertig.

Leider weiß ich nicht so ganz, wie ich das angehe. Hab schon ne weile mit ausprobieren, wolframalpha, youtube und chatgpt verbracht, aber keine Abschätzung gefunden.

Answer 1

[eterneladam]

Mein Ansatz wäre jetzt, das N für beide Potenzreihen (x und x_0) zu finden, und dann N = max(N_1, N_2) zu nehmen.

Das ist nicht nötig, man wählt zum vorgegebenem Epsilon > 0 das Delta > 0 zunächst so, dass für |x - x_0|< Delta auch |x| < r gilt.

Wenn ich das epsilon-delta-kriterium richtig verstanden habe, ...

... dann wählst du für das stetige Polynom (Summe bis N), das da zwischen den Betragsstrichen steht, ein allenfalls noch kleineres Delta, so dass dieser Betrag kleiner als Epsilon / 3 wird.

Comments

[Failita]

Danke für deine Antwort, leider verstehe ich immer noch nicht so ganz wie ich Delta wähle, könntest du mir das vielleicht nochmal etwas genauer erklären?

[eterneladam]

@Failita

Zum ersten: Das sollte anschaulich klar sein, wenn ich das Delta-Intervall um mein x_0 klein genug wähle, dann liegt dieses ganz im Intervall (-r,r). Aber hier formal:

Wenn Delta < |r - |x_0||, also |x_0| < r - Delta,

und |x - x_0| < Delta, dann ist

|x| = |x - x_0 + x_0| <= |x - x_0| + |x_0| < Delta + r - Delta = r

Zum zweiten, du kannst Delta so wählen, da das Polynom stetig ist.

Am Ende nimmst du das kleinere der beiden Deltas.

[DerRoll]

@Failita

Das was du in deiner letzten Formel stehen hast ist eine Stetigkeitsabschätzung für ein Polynom vom Grad N. Polynome sind aber stetig, das darfst du als bekannt voraus setzen. Demzufolge muß es ein passendes delta geben für das die Ungleichung erfüllt ist.

Answer 2

[Rammstein53]

Siehe hier http://www.mi.uni-koeln.de:8929/StetigkeitvonPotenzreihen.pdf

Comments

[Failita]

Das Dokument hatte ich auch schon gefunden, allerdings wirkte es auf mich nach einem anderen Ansatz als von meinem Hinweis vorgegeben. Liege ich da doch falsch?