Sattelpunkt oder Extrema?
Hallo,
ich habe die notwendige Bedingung geprüft und habe 2 Kandidaten für mögliche Extremstellen. Allerdings wenn ich die hinreichende Bedingung prüfe, wird jede gleichung 0.
Demnach ist hier keine Aussage möglich.
Stimmt das?
lasse ich die Funktion allerdings in Wolfram Alpha anzeigen, sehe ich eher "Sattelpunkt", was habe ich falsch?
Danke und schönes Wochenende.
Marc
3 Antworten
Wie im eindimensionalen: Weiter ableiten bis zur ersten nichtverschwindenden Ableitung.
(Zunächst mal wiederhole ich deine Rechnung, verwende aber eine mir geläufigere Darstellung.)
Wenn ich das richtig lese, lautet die Funktionsgleichung
f(x1,x2) = x1^3 + 2 x1 x2^2 + 4 x2^3
Die ersten Ableitungen hast du (wenig überraschend) richtig berechnet.
Eine knappere Schreibweise erlaubt der "Nabla-Operator" ∇, der die partiellen Ableitungen als Vektor darstellt - ich erlaube mir, im folgenden diese Schreibweise zu verwenden.
Berechnung der notwendigen Bedingung:
(∇f)(x1,x2) = ( 3 x1^2 + 2 x2^2 , 4 x1 x2 + 12 x2^2 )
(∇f)(x1,x2) = (0,0) <=> (x1,x2) = (0,0)
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Berechnung der nächst höheren Ableitung (ich hab das so ähnlich formatiert, wie ich das als Programmierer gewöhnt bin)
(∇∇f)(x1,x2) = (
( 6 x1 , 4 x2 ) ,
( 4 x2 , 24 x2 )
)
(Kann man als Matrix auffassen, ist aber als Vektor von Vektoren gedacht; das nennt sich übrigens "Tensor" (2. Stufe))
für (x1,x2) = (0,0) ist auch (∇∇f)(x1,x2) = ((0,0),(0,0))
d. h. wir haben hier noch keine hinreichende Bedingung; es ist also noch keine Aussage möglich.
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Wie im eindimensionalen Fall muss man nun höhere Ableitungen betrachten:
(∇^3 f)(x1,x2) = (
( ( 6 , 0 ) , ( 0 , 0 ) ) ,
( ( 0 , 4 ) , ( 4 , 24 ) )
)
(Die 3. Ableitung ist jetzt ein Tensor 3. Stufe - ein Vektor von Vektoren von Vektoren.)
Diese Ableitung ist nun nicht mehr 0. Damit haben wir endlich eine hinreichende Bedingung gefunden.
Da die erste nichtverschwindende Ableitung eine ungerade Ordnung hat, haben wir einen Sattelpunkt.
(Bei polynomialen Ausdrücken kann man also immer eine Aussage treffen.)
Danke. Allerdings müssen wir nur lt. unserem Script eben nur
fxx * fyy - fxy² = 0 --> es kann keine Aussage gemacht werden !
fxx * fyy - fxy² < 0 --> es liegt ein Sattelpunkt vor !
fxx * fyy - fxy² > 0 --> es liegt ein Extremum vor ! Welches ???
Wenn fxx > 0 oder fyy > 0 --> Minimum
Wenn fxx < 0 oder fyy < 0 --> Maximum
Prüfen, mehr ist nicht angegeben. Von Höherer Ableitung war nie die Rede. Aber Man sagt ja, ein Sattelpunkt ist ja ein Wendepunkt, wieso reichen diese Bedingungen aber nicht aus? Ich verstehe das nicht so ganz, woher du weißt, dass die funktion einen sattelpunkt hat. Ohne die FUnktion angeschaut zu haben.
Ok, wenn ihr nur bis zur 2. Ableitung gehen müsst/dürft, ist in der Tat keine Aussage darüber möglich, ob ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
Dass es sich hier um einen Sattelpunkt handelt, folgt wie im Eindimensionalen daraus, dass die 3. Ableitung nicht verschwindet. (Bzw. allgemeiner eine Ableitung ungerader Ordnung.) - Auf jeden Fall kann ich auf die Sattelpunkteigenschaft daraus schließen, dass wenigstens ein Diagonalelement der 3. Ableitung (das sind die 6 und die 24) nicht verschwindet; wie das bei den übrigen Elementen ist, müsste ich noch mal nachforschen.
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Aber während ich die obigen Zeilen schreibe, fällt mir ein, dass hierfür auch eine eindimensionale Betrachtung reicht:
Wenn wir x2 auf dem Wert 0 festhalten und die Funktion nur als Funkton von x1 auffassen, haben wir
f0(x1) = x1^3
die bekanntermaßen einen Sattelpunkt bei x1=0 hat.
D. h. in jeder Umgebung von x1 = 0 gibt es mindestens ein x1' mit f0(x1') > f0(x1) und mindestens ein x1'' mit f0(x1'') < f0(x1).
Damit gibt es erst recht in jeder Umgebung von (x1,x2) = (0,0) Stellen
(x1',x2') mit f(x1',x2') > f(x1,x2)
und Stellen
(x1'',x2'') mit f(x1'',x2'') < f(x1,x2)
(es ist ja nur eine Existenzaussage, wir können also ohne weiteres x2' = 0 und x2'' = 0 wählen. - Bei Extrema haben wir eine Allaussage, hier ist die Überprüfung wesentlich aufwendiger.)
Ja - falls von euch nicht erwartet wird, dass ihr auf die Idee kommt, die Einschränkungen dieser Funktion auf x1=0 und auf x2=0 zu betrachten.
Hallo,
Du hast nichts falsch gemacht. Manchmal bekommt man eben kein klares Kriterium für Extremstellen. Über die Ungleichung f(xx)*f(yy)-[f(xy)]²>0 nicht und über die Hesse-Matrix auch nicht. Allerdings gibt es möglicherweise noch andere Methoden, um auch in solchen Fällen den Charakter einer Extremstelle zu bestimmen, die kenne ich aber (noch) nicht.
Herzliche Grüße
Willy
Wenn die notw. Bedingung erfüllt ist, prüft man die hinr. Bedingung, so wie du gemacht hast.
Wenn bei f ''(x) ebenfalls 0 herauskommt, kann man noch f '''(x) prüfen. f''(x) = 0 ist die notw. Bedingung für einen Wendepunkt. Wenn f '''(x) ungleich 0 ist, ist die hinr. Bedingung für WP erfüllt, es handelt es sich also tatsächlich um einen Wendepunkt.
Ein Wendepunkt mit Steigung 0 ist ein Sattelpunkt.
Anmerkung (lass dich nicht verwirren - das ist kein Schulstoff):
Dass man die 2. Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher als Matrix auffasst, hat seine Gründe - z. B. kann man nur von Matrizen einfach so eine Determinante ausrechnen (hier: Funktionaldeterminante / Jacobi-Determinante).
Warum ein Vektor von Vektoren nicht einfach eine Matrix ist - um das zu erklären, muss ich etwas weiter ausholen.
Es ist zwar sehr unüblich, einen Tensor als Vektor von Vektoren zu bezeichnen, aber ich denke, es ist eingängig und man muss am Anfang viel weniger erklären als wenn man gleich mit "oberen" und "unteren" Indizes und "Kovarianz" und "Kontravarianz" anfängt - allein in einem Kompendium (kurze Zusammenfassung des Stoffes) braucht man mindestens anderthalb Seiten, um diese Begriffe zwar so knapp wie möglich, aber immer noch mit allem Wesentlichen darzustellen.
Eine Matrix als Vektor von Vektoren ist entweder ein Spaltenvektor von Zeilenvektoren oder ein Zeilenvektor von Spaltenvektoren. Wenn man näher in die Tensoralgebra (Erweiterung der Vektoralgebra) einsteigt, merkt man ziemlich am Anfang, dass es nur in kartesischen Koordinatenfunktionen ausreicht, die Vektorelemente übereinander statt nebeneinander zu notieren, um aus einem Zeilenvektor einen Spaltenvektor zu machen und umgekehrt. In nicht-rechtwinkligen Koordinatensystemen und noch mehr in krummlinigen Koordinatensystemen braucht man eine explizite Umrechnung. (Multiplikation mit einer "Matrix", dem "metrischen Tensor" - so genannt, weil die häufigste Anwendung die Berechnung von Längen ist - das geht ja über das Skalarprodukt, und das ist nur für einen Zeilen- und einen Spaltenvektor definiert.)