Extremum x^4?
Wenn man die Funktion f(x)=x^4 auf Extrema untersuchen will, kann man wie immer vorgehen: erste Ableitung gleich null setzen und die Nullstellen in zweite Ableitung einsetzen. Wenn bei der zweiten Ableitung dann der Funktionswert nicht null ist, hat man ein Extremum. Nun zu meiner Frage: Wenn man das bei x^4 macht, dann erhält man beim hinreichenden Kriterium das Ergebnis, dass kein Extremum vorliegt, obwohl das in der Tat doch so ist. Warum?
3 Antworten
Du verwechselst notwendiger mit hinreichender Bedingung.
Dass in einem kritischen Punkt die zweite Ableitung ungleich null ist, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Extremum vorliegt. Also aus f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 folgt, dass f ein Extremum an der Stelle x hat.
Das ist aber keine notwendige Bedingung. Wenn die zweite Ableitung gleich null ist, kann man nicht direkt folgern, dass ein Extremum vorliegt, es kann aber trotzdem eins vorliegen. Man kann noch keine Aussage machen.
Also aus A folgt B, aber aus (nicht A) folgt nicht (nicht B).
Entscheidend ist, dass es an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der Ableitung gibt. In dem Beispiel hat die Ableitung f'(x) = 4x³ bei x = 0 einen Vorzeichenwechsel und es liegt ein Extremum vor.
Dass die zweite Ableitung von 0 verschieden ist, ist zwar hinreichend aber nicht notwendig für ein Extremum. Hier ist 12x² = 0 und es liegt trotzdem ein Minimum vor.
Hallo,
weil es nicht unbedingt auf die zweite Ableitung ankommt, sondern auf die erste von Null verschiedene Ableitung. Hat die einen ungeraden Grad, liegt ein Sattelpunkt vor, falls nicht, ein Extremum.
Die erste von Null verschiedene Ableitung von f(x)=x^4 an der Stelle x=0 ist
die vierte Ableitung, die f''''(x)=24 lautet. Sie hat einen geraden Grad, es liegt also ein Extremum vor, außerdem ist sie größer als Null, es handelt sich um ein Minimum.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hatte mich auf f(x)=x^4 bezogen. Davon ist die vierte Ableitung 24.
Bei f(x)=x^5 wäre es dann die fünfte Ableitung, die 120 ergibt. Hier läge demnach bei x=0 ein Sattelpunkt vor.
Anscheinend schreiben wir an einander vorbei. In beiden Beispielen ist die erste von null verschiedene Ableitung eine konstante Funktion, also vom Grad 0. Bei x^5 braucht man eine ungerade Anzahl von Ableitungen, bei x^4 eine gerade Anzahl.
Oder nennt man die 1., 3., 5. usw. Ableitung eine "Ableitung ungeraden Grades"? Dann nehme ich meine Korinthenkackerei sofort zurück ;-)
Mit der Klarstellung von 16:21 Uhr wird es aber eindeutig.
Siehe meinen anderen Kommentar. Mit ungerader bzw. gerader Ableitung meine ich den Grad der Ableitung: Die erste, dritte, fünfte usw. Ableitung ist eine Ableitung ungeraden Grades, die 2, 4., 6. usw. dagegen ist geraden Grades.
Ungerade und gerade beziehen sich hier also auf keinen Fall auf den Funktionswert der Ableitungsfunktion, sondern auf den Grad.
Eine Ableitung, bei der die untersuchte Stelle (hier: x=0) nicht mehr Null ergibt.
Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes: Die erste Ableitung ist an dieser Stelle gleich Null. Ist das nicht der Fall, hat sich die Sache schon erledigt.
Hinreichende Bedingung: Dort, wo die erste Ableitung gleich Null wird, ist die nächste Ableitung in aufsteigender Reihenfolge, also zweite, dritte, vierte usw.), die an dieser Stelle etwas anderes als Null ergibt, eine Ableitung von Grad 2, 4, 6...2n.
Ist es dagegen eine Ableitung 3., 5., 7.,...(2n+1). Grades, handelt es sich dort um einen Sattelpunkt. In den meisten Fällen ist spätestens die dritte Ableitung von Null verschieden (Sattelpunkt) oder bereits die zweite (Extrempunkt). Kommen aber erst einmal lauter Nullnummern, führt die Regel, die den Grad der Ableitung betrifft und wie ich sie angeführt habe, zum gewünschten Ergebnis. Natürlich nur, wenn die Funktion an der fraglichen Stelle überhaupt differenzierbar ist, sonst kann man sich die ganze Mühe sofort sparen.
Kleine Korrektur:
Bei f(x) = x^5 ist die erste von null verschiedene Ableitung f'''''(x) = 120
Die fünfte Ableitung, f-5-Strich, hat Grad 0, es liegt aber ein Sattelpunkt vor.
Man müsste es also etwas anders formulieren:
weil es nicht unbedingt auf die zweite Ableitung ankommt, sondern auf die erste von Null verschiedene Ableitung. Ist das n bei n-te Ableitung ungerade, liegt ein Sattelpunkt vor, falls nicht, ein Extremum.
Die erste von Null verschiedene Ableitung von f(x)=x^5 an der Stelle x=0 ist die fünfte Ableitung, die f'''''(x)=120 lautet. Fünf ist ungerade, es liegt also ein Sattelpunkt vor
Glücklich bin ich mit der Formulierung allerdings nicht, mir fällt gerade nichts Besseres ein.
Ich versuche mir gerade eine mehrfache Nullstelle bei einer Funktion vorzustellen, die man mit Produkt- oder Kettenregel ableiten muss. Da ist das Vorzeichenwechselkriterium vermutlich einfacher.