Existiert eine Funktion f die folgende Eigenschaft erfüllt?
Existiert eine Funktion F für die gilt:
F'(x) hat n nullstellen
F(x) hat MEHR als n+1 nullstellen
3 Antworten
Ja, solche Funktionen gibt es.
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Beispiel:
F′ hat 0 Nullstellen.
F hat mehr als 0 + 1 Nullstellen. F hat 2 Nullstellen, nämlich bei x = -1 und bei x = 1.
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Weiteres Beispiel:
F′ hat 2 Nullstellen, nämlich bei x = -√(10)/2 und bei x = √(10)/2.
F hat mehr als 2 + 1 Nullstellen. F hat 4 Nullstellen, nämlich bei x = -2 und bei x = -1 und bei x = 1 und bei x = 2.
Das erste Beispiel gefällt mir gut, das zweite ist eher ein Taschenspielertrick, eine Nullstelle aus dem Definitionsbereich zu entfernen. Stellt sich die Anschlussfrage, wie es auf einem zusammenhängenden Definitionsbereich aussieht.
Sagen wir mal eher differenzierbar statt stetig, damit auch die Ableitung auf ganz ℝ definiert ist...
Nein, es gibt keine differenzierbare, auf ganz ℝ definierte reellwertige Funktion F, welche diese Bedingungen erfüllt.
Für den Beweis kann man den Satz von Rolle verwenden, wonach es dann zwischen zwei Nullstellen von F immer eine Nullstelle von F′ gibt.
Rolle.. danke, kam auf den Vorlesungsfolien dran. Ich dachte er wäre nicht allzuwichtig. Vielen Dank!
Guten Tag!
Ich bin zwar kein Mathematiker, habe auch nur wenig Ahnung.Aber nach meines Wissens nein. Wenn X n Nullstellen hat dann kann doch X nicht mehr als n+1 Nullstellen haben. Das bedeutet ja ganz einfach X hat n Nullstellen und soll aber auch mehr als n Nullstellen haben. Und meines Erachtens geht das nicht.
Danke für die Antwort, aber Die frage war ja auch f'(x) ( f strich) bezogen, also die ableitung von f(x)
Das heißt also f und f Strich. Da habe ich keine Ahnung. Da frage ich mich schon wieder was ist f Strich ? Aber danke für das Danke.
Ich bin es noch mal. Es sei denn für X gibt es zwei Wirklichkeiten. So wie bei den Physiker Everett oder wie der genau hieß. Vielleicht hat das von Euch schon jemand mal gehört, wie die berühmte Katze die so zu sagen Gleichzeitig tot und lebendig ist. In der einen Wirklichkeit soll sie lebendig sein und in der anderen Wirklichkeit tot. Muss aber zu geben verstehen tue ich das nicht.
Ich glaube nicht. Zwischen zwei Nullstellen muss immer mindestens 1 Extremwert liegen, also mehr als n+1geht nicht.
Möglicherweise kann man aber mit Polstellen tricksen?
Zwischen zwei Nullstellen muss immer mindestens 1 Extremwert liegen, also mehr als n+1geht nicht
Das stimmt so pauschal nicht, sondern nur wenn die Funktion zwischen den beiden Nullstellen stetig (und insbesondere nicht undefiniert) ist. Als Gegenbeispiel dient die Tangensfunktion: Kein einziges Extremum, aber unendlich viele Nullstellen (deine Polstellen-Idee geht hier ein).
Ich bin davon ausgegangen, dass Creeperkiller im Grunde Funktionen ohne Polstellen meinte.
Danke für die Ausführliche Antwort, das hat mir sehr geholfen, nun frage ich mich ob es eine Funktion gibt die die Bedinungen erfüllt und stetig auf der Definitionsmenge der reelen Zahlen ist.