Sinussatz: c/sin(gamma) = a/sin(alpha), also
a/c = sin(alpha)/sin(gamma)
Wegen der Gleichschenkligkeit gilt gamma = Pi - 2 * alpha (im Bogenmass)
Setz das ein oben ein und überlege, was dann beim Sinus rauskommt.
Der Satz von Bayes liefert hier für die gefragte Wahrscheinlichkeit einen Wert von 0.56/0.5 > 1.
Das liegt daran, dass es schon bei den Voraussetzungen klemmt. Wenn er in Bierlaune zu 80% sinnlose Aufgaben stellt, dann kommt daraus schon ein Anteil von 0.7 × 0.8 = 0.56 für die totale Wahrscheinlichkeit. Nüchtern müsste es dann ein negativer Wert sein, um insgesamt auf 0.5 zu kommen.
Lustige Aufgabe, finde ich, aber kann selbstverständlich verwirrend sein.
Ich teile deine Meinung, in Mathe sollte man auch den Sinn für Präzision vermitteln und dabei mit gutem Beispiel voran gehen. Gemeint ist in der vorliegenden Aufgabe ziemlich sicher "genau zwei".
Durch geschickte Darstellung als Zähler / Nenner kann man L’Hospital in Situationen anwenden, wo das auf den ersten Blick nicht möglich scheint. Was du genau meinst, verstehe ich nicht, es wäre hilfreich, ein konkretes Beispiel zu nennen.
Sieht mir nach Abnutzung aus.
Guckst du über die Grenze, https://www.orf.at/ finde ich sehr gut.
x = ursprüngliche Einlage, i = ursprünglicher Zins
x (1+i)^15 = 30 Mio.
( x (1+i)^6 + 1 438 942) * 1.06^9 = 30 Mio.
Daraus erhalte ich
i≈0.07, x≈1.08734×10^7
Im Gegensatz zu Uwe65527 finde ich die Ableitung korrekt, allerdings hätte ich bei der fünftletzten Zeile aufgehört. Wenn der Term ln(8x^3/7) in der Ausgangsfunktion steht, dann muss man den meiner Meinung nach in der Ableitung nicht noch weiter auflösen.
Die Aussage ist falsch, linear abhängige Vektoren stehen im allgemeinen nicht senkrecht aufeinander, ausser in pathologischen Fällen, wenn a oder b der Nullvektor ist.
Das ist prinzipiell wie Polynomdivision, man nimmt dazu die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion,
1 / ( e^x - 1 )
= 1 / ( x + x^/ 2 + x^3 / 6 + .... )
und die Division ergibt
1/x - 1/2 .....
Du bist auf dem richtigen Weg, bis auf das falsche Vorzeichen bei der zweiten Ableitung.
Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung,
x = 2/3 - sqrt(19)/3, x = 2/3 + sqrt(19)/3,
und daraus die zugehörigen Funktionswerte
y = -2/27 (28 + 19 sqrt(19)) = -8.2...., y = 2/27 (19 sqrt(19) - 28) = 4.06...
Es ist wohl die Höhe h über der Hypotenuse c gemeint.
Die Fläche ist einerseits gleich a*b/2, andererseits gleich c*h/2, daraus folgt h = a*b/c.
Die Aufgabe scheint mir für die Binomialverteilung konstruiert, wobei diese nur approximativ verwendbar ist, wie du in deinem Kommentar zur Antwort von aperfect10 auch festgestellt hast. Die Stichprobe ist hier gross genug, um eine Approximation zu rechtfertigen. Mit der Binomialverteilung komme ich auf 54%, mit der hypergeometrischen auf 47%.
Man könnte eine parabolische Form annehmen, gegeben sind dann die Punkte (0,3), (80,20) und die Ableitung gleich Null in x=80. Das sind 3 Gleichungen für 3 Unbekannte a, b, c in f(x) = ax^2 + bx + c.
(a) Die Fahrbahn ist x/10, der Brückenbogen a x^2 + c (wegen Hinweis auf Symmetrie in Teil (c)).
Also x/10 = a x^2 + c und 1/10 = 2ax, woraus folgt
c = 1/(400 a), x = 1/(20 a).
Die (b) ist damit auch erledigt.
Bei der (c) berechnest du die Koordinaten der Stützpunkte und die Steigung der gestrichelten Linien, dazu benötigst du die Ableitung der Parabel in diesen Punkten.
Mann könnte auch mit x/10 + c und a x^2 ansetzen, die Aufgabe ist in dieser Hinsicht nicht klar, aber die Zeichnung spricht für den ersten Ansatz.
Die f_n sind stetig, f ist es nicht, also kann die Konvergenz nicht gleichmässig sein. Was hast du denn da für Fälle geprüft?
Wenn dir die Antwort von Roderic nicht reicht, kannst du mit dem Satz von der Monotonie des Riemann-Integrals argumentieren. Du hast f(x) <= B, also gilt dieses <= auch für die jeweiligen Integrale- Das Integral über B ist leicht zu berechnen.
Die (d) gibt dir den Hinweis, dass die Fläche, welche den Steradiant ausmacht, gewölbt ist, man kann also von ihr nicht direkt auf den Radius der umfassenden Kreislinie schliessen. Eine Möglichkeit wäre, vom Steradiant zunächst auf den Kegelwinkel zu schliessen, z.B.
2 arccos( 1 - omega / (2Pi) ) (siehe Wikipedia),
und dann mit dem Kosinussatz den Durchmesser des Kreises zu berechnen.
Also etwa für 1 sr,
Winkel = 65.54°, Durchmesser = Wurzel( 2(1-cos(Winkel) ) = 1.08255..., Radius = 0.5413
Die Kreisfläche ist dann 0.9204...
Für die (d) muss man die Relation der beiden Flächen berechnen.
In der Mathematik heißt es ja 0.999... = 1 also heißt es 99.999...% = 100%.
Also, wenn es dir wirklich um 0.9 Periode geht, dann ist das 1 bzw. 100%.
Angenommen es gibt Unendlich viele Universen ...
Es gibt verschiedene Qualitäten von "unendlich", bei einer unendlichen Anzahl von Universen würde ich von "abzählbar unendlich" ausgehen, das heisst, dass man sie nummerieren kann, 1, 2, ..... Wenn es also in 100% der abzählbaren Universen kein Leben gäbe ... dann muss die Wahrscheinlichkeit, dass es in Universum Nr. n Leben gibt, gleich 0 sein, und zwar für alle n = 1, 2, ..., denn sonst wäre die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle Universen grösser als 0 und die Wahrscheinlichkeit für "kein Leben" kleiner als 100%.
Bei "überabzählbar unendlich" wird es kompliziert, guckst du den Beitrag von TBDRM.
1 - 28/32 * 27/31
Die Gegenwahrscheinlichkeit von "kein König".
Oder 1 - (4 über 0) (28 über 2) / (32 über 2)