Man zieht aus der ersten "Urne" eine Hülse und aus der zweiten "Urne" eine Mine. Das sind zwei separate Zufallsexperimente, die nichts miteinander zu tun haben, die Annahme der stochastischen Unabhängigkeit ist daher naheliegend. Rechnen musst du für (a) gar nichts. Den Rest der Aufgabe hast du uns vorenthalten.
Es kommt ein bisschen auf die Art der Fragestellung an.
Wenn man die Funktion auf das Intervall (-unendlich, 0] einschränkt, dann ist sie streng monoton fallend, wenn man sie auf das Intervall [0, unendlich) einschränkt, dann ist sie streng monoton steigend. Dass die 0 in beiden Intervallen enthalten ist, stört mich nicht, denn strenggenommen ist eine Funktion durch einen Definitionsbereich, einen Zielbereich und eine Zuordnungsvorschrift gegeben, man hat es also mit zwei Funktionen zu tun.
Wenn die Frage lauten würde, den Definitionsbereich (-unendlich, unendlich) in disjunkte Teilintervalle mit gleichem Monotonieverhalten zu zerlegen, dann würde ich (-unendlich, 0] und (0, unendlich) nennen.
Dass du diese Zahlen in dieser Reihenfolgen in die Lücken eingibst, die 2 und die 3 sind ja blockiert.
Hypergeometrisch, für kein As,
(4 über 0) * (48 über 13) / (52 über 13) = 0.3
Gegenwahrscheinlichkeit = 0.7, etwas mehr als 65%. (vielleicht liege ich falsch)
Oder Gegenwahrscheinlichkeit ausmultipliziert
1 - 48/52 * 47/51 * .... * 36/40
Die Reihenentwickung ist korrekt, allerdings solltest du f(x) = ... schreiben und (1-2) durch (-1) ersetzen.
Bei der Untersuchung der Konvergenz ist
a_n = (-1)^n (n+1) (x-2)^n
Du musst ja eine Bedingung für das x herausbekommen, |x-2|<1. Das Konvergenzintervall hast du richtig angegeben, aber die Herleitung ist es nicht.
Bei der (9) ist die Reihenfolge (1) - (3) - (2). Bei n Versuchen sind die Ergebnisse k = 0...n möglich, d.h. je grösser n, desto mehr Balken sind zu zeichnen. Je grösser n, desto mehr nähert sich das Histogramm der symmetrischen Glockenkurve an.
Bei der fiesen (12) bin ich mit beiden Aussagen nicht einverstanden. Der Peak des (schlecht zu erkennenden, aber nur nahezu) symmetrischen Histogramms ist in der Nähe des Mittelwerts. n=30 ist nicht möglich, denn dann müsste p etwa 2/3 sein, dafür ist das Histogramm zu nahe an der Symmetrie. Bei n = 38 müsste man auf p etwa 1/2 schliessen. Dafür ist aber die eingezeichnete Wahrscheinlichkeit bei k=19 zu niedrig, B(n=38, k=19, p=1/2) = 0.1285...
Erweitere den Bruch in der oberen Summe mit 4*k^2.
Die 4 geht dann im Nenner mit der Zweierpotenz weg, das k geht in die Fakultät.
(3 + 3 + 4) / (12 + 13 + 9) also Anzahl Niederlagen durch Anzahl Spiele, wäre ein möglicher Schätzer für diese Wahrscheinlichkeit.
Ich kenne ??? nicht, aber die Buchstaben lassen sich zum Wort DREIÄUGIG kombinieren.
Den Tip 247 = 13 * 19 hast du ja schon von aperfect10 bekommen.
Mit dem Satz von Euler, der Verallgemeinerung des kleinen Fermat, hat man in diesem Fall
17^((13-1)*(19-1)) = 1 mod (13*19), also
17^216 = 1 mod (13*19).
Wegen 866 = 4 * 216 + 2 bleibt dann noch
17^866 = 17^2 = 42 mod (13*19).
Wieder mal 42, die Antwort auf eh alles ...
Wenn du den Satz von Euler nicht verwenden darfst, machst du es wie von ChrisGE1267 vorgeschlagen.
Ich übersetze "erfahrungsgemäss" mit "durchschnittlich", damit der Zufall überhaupt spielen kann.
(a) P( k>33, n=100, p=1/3 ) = 1 - P( k<=33, n=100, p=1/3 ) = 48% (das muss in etwa bei 50% liegen, da 33.3 der Erwartungswert ist)
(b) Ansatz P( k<=K, n=100, p=1/3 ) >= 90%, K ist zu bestimmen. Mit K=39 erhält man 90.3%.
Dass Chatgpt das nicht hinbekommt wundert mich nicht, um so mehr als du deine Aufgabe nicht präzise formuliert hast. Das hat auch bei den Antworten für Verwirrung gesorgt. Ich verstehe es so, dass auf den 10 Kugeln nur die 4 Buchstaben N, I, A, V vorkommen, 1x V, 2x I, 3x A und 4x N. Es wird mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Dann bin ich einig mit der Antwort von chromakopia,
4!* 1/10 * 2/10 * 4/10 * 3/10.
Meine Party ist etwas übersichtlicher als in anderen Antworten:
3 / 20% = 15 Mädchen
3 / 12.5% = 24 Gäste
Macht 9 Jungs.
Der Radius des Kreises ist gleich 5, und wenn die x-Koordinate von C gleich 3 ist, dann liefert der Pythagoras einen Wert von 4 für das eingezeichnete y.
Die Steigung der Strecke von 0 nach C ist damit gleich 4/3.
Jetzt muss man nur noch wissen, dass das Produkt der Steigungen dieser Strecke und der dazu senkrechten Tangente gleich -1 ist, dann folgt schon der Wert -3/4 für die Steigung m_g.
Ich rechne das in Anzahl Kästchen, 4 Kästchen entsprechen 1 cm² und müssen dazu. Aktuell ist es eine Fläche entsprechend 24 Kästchen. das solltest du nachrechnen können. Ziel sind 28 Kästchen (und natürlich Achsensymmetrie).
Setze jetzt rechts unten an der Figur ein Dreieck an, du gehst von der Ecke rechts unten um eine Einheit nach rechts und dann schräg (3 hoch und 1 links), um wieder an die Figur anzuschliessen.
Als nächstes gehst du von der Ecke links oben leicht schräg nach unten (3 nach rechts, 1 nach unten), dann waagerecht bis zur rechten Ecke.
Die neue Fläche ist nun 28, das siehst du ohne zu rechnen, wenn du das zuerst gezeichnete Dreieck weg nimmst und oben quer anlegst, dann bleiben rechts oben noch 2 Kästchen leer.
Die Symmetrieachse geht durch die Ecken links unten und rechts oben.
Ich bezweifle, dass man das so gut abschätzen kann, aber ich versuche das jetzt einmal, ohne es gerechnet zu haben.
Die Verteilung ist einigermassen symmetrisch um den Erwartungswert 6.
Bei der (1) geht es um die sechs Werte 0 bis 5, bei der (2) um die fünf Werte 7 bis 10. Deshalb würde ich (1) > (2) vermuten. Bei der (3) geht es um den Bereich 4 ...8 um den Erwartungswert herum, hier ist die grösste Masse, dass muss den grössten Wert geben. Die (4) ist zwar ohne den Erwartungswert mit grosser Masse, dennoch mein Fazit: (2) < (1) < (4) < (3).
Liege ich richtig?
Durch Integration hat man
u = e^s
x = e^s + 1/2 s^2
y = s
Daraus ergibt sich x = u + 1/2 y^2,
oder u = x - 1/2 y^2
Erfüllt sowohl die PDGL als auch die Anfangsbedingung.
Da man sie nicht mehr fragen kann, ob ihr das recht ist, würde ich darauf verzichten.
Unbeachtet von der konkreten Person - also als Durchschnittswert - liegt diese bei rund 1 Promille, was man in Statistiken nachschlagen kann (z.B. hier). Bei einer konkreten Person könnten die Umstände diesen Wert beeinflussen, wie Obito521 in seiner Antwort ausgeführt hat.
In der Aufgabe geht es nirgendwo um ein Minimum. Gesucht ist der Abstand vom Schanzentisch (der ist gegeben durch A) und dem Hillsizepunkt (der ist zu ermitteln über die gegebene Steigung).