Wieso hat folgende Funktion nur höchstens eine Nullstelle auf [-a,a]?
f(x) = ax^3+3ax+b
a zwischen 0 und 1
b ist in den reelen Zahlen
Idee: Mittelwertsatz
2 Antworten
Die Funktion f(x) = ax^3 + 3ax + b hat höchstens eine Nullstelle auf [-a, a], weil sie eine monoton steigende Funktion auf diesem Intervall ist.
Der Mittelwertsatz besagt, dass für eine monoton steigende Funktion auf einem geschlossenen Intervall die Nullstellen der Funktion genau einmal innerhalb des Intervalls vorkommen müssen. Da die Funktion f(x) auf dem Intervall [-a, a] monoton steigend ist, weil die erste Ableitung positiv ist, hat die Funktion auf diesem Intervall höchstens eine Nullstelle.
Da a zwischen 0 und 1 ist, ist die erste Ableitung positiv, das bedeutet, dass die Funktion f(x) auf dem Intervall [-a,a] monoton steigend ist und somit hat die Funktion auf diesem Intervall höchstens eine Nullstelle.
Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass es möglich ist, dass die Funktion auf diesem Intervall keine Nullstelle hat, wenn der Koeffizient b entsprechend gewählt wird.
0<a<1. Im Fall zweier Nullstellen gäbe es ein x aus [-a,a] mit f'(x) = 3ax^2 + 3a = 0, was nicht möglich ist.
Ja. Zwei Nullstellen bedeutet, dass es eine Stelle dazwischen geben muss, in welchem die Steigung 0 ist, irgendwie muss sich die Kurve ja wieder zurück zur X-Achse bewegen. Man sieht es aber eigentlich schon an ax³+ax + b. Wenn wir a = 0 setzen, hätten wir f(x)=b, setzen wir a =1, hätten wir f(x)=x³ + 3x + b.
Beide Funktionen haben offensichtlich nur eine Nullstelle. Was passiert nun, wenn man a dazwischen bewegen lässt? An der Kurvenstruktur ändert sich nichts, es kommt keine Welle hinein wie z.B. bei g(x) = x³ - 2x + b. Demnach bleibt es bei einer Nullstelle. Bzw. klarer: f(x)=ax³ + ax + b = a*(x³ + x) + b. h(x) = x³ hat nur eine Nullstelle und geht von links unten nach rechts oben, ebenso, i(x) = x. Der Faktor a ändert daran rein gar nichts, er streckt nur. Demnach gibt es nur eine Nullstelle. Noch weniger ändert der Faktor b irgendetwas daran.
Mathematisch geht der Beweis aber sauber diesen Mittelwertsatz per Kontradiktion.
Wieso ist das nicht möglich?