Das Produkt dreier ungerader Zahlen ist stets ungerade?
Das Produkt dreier ungerader Zahlen ist stets ungerade?
Wir sollen diese Aufgabe beweisen. Ich habe auch die Lösung; leider kann ich sie nicht nachvollziehen.
a*b*c = (2k+1) (2m+1) (2n+1)
=2 (4kmn + 2 (km + kn +mn) + k + m +n) + 1
5 Antworten
Eine ungerade Zahl wird mit 2n + 1 dargestellt (da 2n gerade ist und der Nachfolger ungerade), wobei n sämtliche ganze Zahlen sein kann. Statt n kann man auch m oder k oder j oder x oder y oder sonst was schreiben. Wenn man drei verschiedene ungerade Zahlen haben will, nimmt man drei verschiedene Buchstaben, z.B. hier k, m, n.
Diese drei ungeraden Zahlen werden multipliziert und es kommt das hier raus:
=2 (4kmn + 2 (km + kn +mn) + k + m +n) + 1
Den Ausdruck nach 2 in der Klammer kann man mit z zusammenfassen, da der Term darin für egal welche k,m,n eine ganz Zahl ergibt.
Wir haben also 2z + 1. Und das ist offenbar ungerade.
Hallo,
es reicht aus, zu beweisen, daß das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.
Dann nämlich muß es auch das Produkt dreier ungerader Zahlen oder überhaupt von n ungeraden Zahlen sein.
Das Produkt aus den ersten beiden Zahlen ergibt ja wieder eine Zahl. Ist diese, wie behauptet, ungerade, bleibt es auch ungerade, wenn es mit einer weiteren ungeraden Zahl multipliziert wird usw.
Eine beliebige ungerade Zahl ist 2m+1, eine weitere ist 2n+1 mit m;n Element Z.
(2m+1)*(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2*(2mn+m+n)+1
Da 2*(mn+m+n) durch 2 teilbar und damit gerade ist, ist der Nachfolger sicher ungerade.
Herzliche Grüße,
Willy
Mathematisch kann man eine gerade Zahl notieren als
k kann dabei jede beliebige natürliche Zahl sein; n ist dann immer gerade, weil
Eine ungerade Zahl ist immer eine beliebige gerade Zahl + 1 (oder -1; kommt auf das gleiche hinaus):
Drei ungerade Zahlen a, b, c zu multiplizieren kann man also so notieren:
Nun kann man das also umstellen wie Du angegeben hast und erhält:
Schreiben wir für alles in der Klammer einfach j, da es für egal welche k, m und n immer irgendeine natürliche Zahl ergibt, egal welche.
Und genau das war unsere Notation für eine ungerade Zahl!
q. e. d.!
naja ist doch einfach...
die 2. Zeile ist einfach die erste Zeile ausmultipliziert.
Und was steht in der 2. Zeile?
-> 2 * irgendwas + 1
2 * irgendwas ist durch 2 teilbar und mit +1 ist es ungerade.
Ganz links steht eine 2 als Faktor. 2*Klammer ist gerade,
plus 1 ist ungerade.
Wo ist das Problem?
k e Z statt k e N, ganze Zahl statt natürliche Zahl (auch wegen "-1, kommt auf gleich hinaus").