Ist der Beweis so korrekt?
Hallo zusammen,
ich möchte die folgende Aussage beweisen:
Angenommen n ist eine ungerade Zahl. Beweise, dass n^3-n durch 24 teilbar ist.
Beweis:
Beweis ok?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
1: wenn zwei Terme gleich sind, kommt ein Gleichheitszeichen dazwischen, kein Äquivalenzzeichen.
2: der Schritt, m, m^2 und m^3 einfach durch Z auszutauschen ist Falsch, da eben m, m^2, m^3 für m größer als 1 ungleich sind.
Mit deiner Argumentation wäre k^2+3k für alle k durch 4 teilbar, für k=2 bekommst du aber 2^2+3*2=10, was offensichtlich nicht durch 4 teilbar ist.
3: der letzte Satz müsste lauten "die Teilbarkeit durch 24 wird hierdurch impliziert" (auch wenn die Aussage schon wegen 2. Falsch ist)
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Du bekommst aber für m, m^2, m^3 UNTERSCHIEDLICHE ganze Zahlen, wenn du eine ganze Zahl einsetzt. Käme jeweils das selbe raus, wäre der Schritt okay so aber nicht.
2 Mögliche Beweismöglichkeiten:
1. Induktion
2. Schreibe n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1) und begründe das immer gilt, dass ein Faktor durch 2, einer durch 4, und einer durch 3 teilbar ist. (Der Faktor der durch 2 Teilbar ist, und der der durch 4 teilbar ist, sollen Unterschiedlich sein!)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Littlethought/1608845011585_nmmslarge__0_0_1400_1400_12f863478e3a55ad70794295ebf7770d.jpg?v=1608845012000)
Die 4. Zeile ist unsinnig. Es können nur Folgerungen aus Ausagen gzogen werden. In der 4. Zeile steht keine Aussage. Es sieht so aus als ob du Z ausklammern wolltest. Das geht nicht. Du kannst eine Variable oder eine Zahl ausklammern aber nicht eine Menge.
Hinweis zur Lösung:
8m^3 + 12m2 +4m = 4m* ( 2m^2 + 3m +1) ;
und jetzt machst du drei Fallunterscheidungen:
_1.Fall m = 3k ; 2. Fall m = 3k+1 oder m mod 3 = 1 ; 3. Fall m= 3k+2 oder m mod 3 = 2:
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Ok. Wie schreibe ich es dann richtig? Ich wollte sagen, dass wenn m aus Z ist, dann ist das Ergebnis m,m^2,m^3 auch aus Z
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Das ist ja trivial. Aber das hilft doch nicht. Warte einen Moment. Ich gebe dir noch einen Tipp.
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Nee. Also, abgesehen davon
- dass deine erste Implikation auf keine Aussage verweist
- (Edit: Ich hatte mich verlesen und das "-" für ein "*" gehalten.)
gilt seine Schlussfolgerung nicht. Beispiel: Nach deinem Argument wäre m^2 + 2m immer durch drei teilbar, und das ist nicht so (z.B. für m = 2 gilt das nicht).
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Ich habe m,m^2,m^3 durch Z ausgetauscht, weil wenn ich eine Zahl aus Z was für m einsetze, kommt als Ergebnis immer eine Zahl aus Z raus. Wie schreibe ich es dann richtig?
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Du willst nicht beweisen, dass das Ergebnis der Berechnung in Z liegt, sondern dass das Ergebnis durch 24 teilbar ist.
2: Ich habe m,m^2,m^3 durch Z ausgetauscht, weil wenn ich eine Zahl aus Z was für m einsetze, kommt als Ergebnis immer eine Zahl aus Z raus. Wie schreibe ich es dann richtig?