Algebraisch beweisen
Hallo ich wollte fragen ob mir jemand erklären könnte, wie man einen algebraischen beweis macht. ich weiß dass 2n eine gerade und 2n+1 eine ungerade zahl ist aber wie kann ich sie im Bezug auf den text anwenden. könnte mir jemand da ein rezept entwickeln wie ich an solche aufgaben rangehen muss. Vielen DANK
BEISPIEL : wenn man von der summe der quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher zahlen das prodkukt dieser zahlen subtrahiert, so erhält man den nachfolger dieses prodkuktes.
vielen dank
3 Antworten
Hallo,
leider gilt sowohl bei Textaufgaben als auch insbesondere bei Beweisen, dass es ein Kochrezept nicht so wirklich gibt...
Ich kann dir mal sagen, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen würde:
- Text von vorne bis hinten durchgehen und Versuchen die einzelnen Teile in Mathematiksprache zu übersetzen:
"von der summe der quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher zahlen"
Das ist natürlich schonmal ein ganzer Brocken. Versuchen wir ihn Schritt für Schritt aufzulösen:
zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen: wir brauchen zwei nicht näher bestimmte Zahlen. Nehmen wir n für die eine ist die andere wohl n+1, damit sie aufeinander folgen.
Davon jetzt "die Summe der Quadrate" => beide Zahlen müssen jeweils quadriert werden und dann addiert => n² + (n+1)²
von diesen sollen wir "das produkt dieser Zahlen subtrahieren". Unsere Zahlen bleiben also nach wie vor n und (n+1). Davon sollen wir das Produkt nehmen, also n*(n+1) und das von unserem vorher gefundenen Term subtrahieren:
n² + (n+1)² - n * (n+1)
wenn man das ausführt "so erhält man den nachfolger dieses produktes"
Das Produkt ist das gleiche wie vorher, also n * (n + 1) und der nachfolger davon ist das produkt +1, also n * (n + 1) + 1 Jetzt setzen wir die beiden Terme gleich:
n² + (n+1)² - n * (n+1) = n * (n + 1) + 1
Jetzt musst du die Gleichung nur so umformen, dass auf beiden Seiten erkennbar das Gleiche ist. Siehe dazu auch die Antworten der anderen ;)
Im Prinzip also: Versuch den Text in kleinere Teile aufzuteilen bis du einen Teil davon in Mathematik übersetzen kannst. Dann hast du einen Ausgangspunkt, von dem aus du immer weiter durch den Text gehst und ihn so nach und nach übersetzt, bis am Ende eine Gleichung dasteht, die du beweisen kannst.
Bei Fragen melde dich einfach, ansonsten hilft da nur: Viel Üben und ab und zu auf ein wenig Inspiration hoffen ;)
mfg Ennte
A^2 + (a+1)^2 - a(a+1) = a^2 + (a^2+2a+1) - (a^2+a) = a^2 +a +1 = a(a+1) +1. Das ^ bedeutet hoch. Den zweiten Ausdruck in der ersten Zeile mußt Du als erste binomische Formel auflösen, den dritten einfach ausmultiplizieren. Dann einfach alles addieren und am Schluss a wieder ausklammern und Du erhältst a(a+1), also das Produkt der beiden Zahlen, + 1. Und das ist der Beweis.
vielen dank aber mir fällt ja gerade dieses Übersetzen schwer und wie macht ihr das ? wo kommt da eine klammer hin ? woher wisst ihr das ß
Zuerst würde ich den Text in eine Formel umwandeln:
a² + (a+1)² - (a * (a+1)) = (a * (a+1)) + 1
Du musst zeigen, dass die linke Seite der rechten entspricht, mehr nicht. Dazu würde ich erstmal beide Seiten vereinfachen, also ausmultiplizieren und so.
a² + a² + 2a + 1 - a² - a = a² + a + 1
a² + a + 1 = a² + a + 1 (wahr)