Beweis, Satz des Pythagoras a gerade b gerade?
Seien a,b,c ∈ Z und gelte a^2+b^2=c^2.Zeigen Sie: a ist gerade oder bist gerade.
eine ungerade Zahl hat die Form: 2n+1 mit n ∈ Z
eine gerade Zahl hat die Form: 2k mit k ∈ Z
Ich würde jetzt einen Beweis durch Widerspruch machen. Also annehmen, das wenn beide ungerade oder einer von beiden ungerade ist, c nicht mehr Element von Z ist.
z.b 3^2 + 5^2 = 34 Die Wurzel von 34 ist keine ganze Zahl
Für den Fall, das beide ungerade wären, würde ich einfach 2n+1 für a und b.
Für den Falls, das nur a oder b ungerade ist, nur für den jeweiligen 2n+1 einsetzten.
Soweit richtig? Wann weiß ich, das durch das Einsetzten(und dann Umformen ) einen Widerspruch herleite, also woran kann ich an der Formel erkennen, das c keine ganze Zahl mehr sein kann?
5 Antworten
Also um auf Ellejolkas Vorschlag nochmal zurückzukommen:
erfüllt die Bedingung ja,
also gilt
Drei ganzzahlige Werte kriegt man aufgrund der Teilerfremdheit von 3,4,5 dann nur für ganze n hin.
Für ungerade n ist dann 3n ungerade und 4n gerade, für gerade n sind beide gerade.
Somit würdest du es zumindest mal dafür zeigen.
Wie ich grade gesehen habe, gibt es aber zuhauf solche Zahlentripel, die nicht auf diesem basieren.
Deshalb beweist du es damit nur für ne kleine Menge aller möglichen Tripel. Aber es ist zumindest mal ne Idee :)
Danke für den Stern :) Auch wenn sie in dem Fall eterneladam eher verdient hätte :)
Wir nehmen an, beide seien ungerade und erzeugen einen Widerspruch:
a= 2n + 1 mit n ∈ Z
b = 2m + 1 mit m ∈ Z
a² + b² = 4 (n² + n + m² + m) + 2
Das ist eine gerade Zahl, aber als Quadrat muss sie durch 4 teilbar sein (c²=(2k)²).
Offensichtlich bleibt aber ein Rest 2 bei Division durch 4, das ist der Widerspruch.
Danke für deine Antwort. Auf genau das kam ich dann auch ^^
Intelligente Antwort :)
Ich würd allerdings noch als Begründung anfügen, dass die Quadrate ungerader Zahlen immer ungerade und die gerader Zahlen immer gerade sind. Und da man ne gerade Zahl als Quadrat hat, muss das das Quadrat einer geraden Zahl sein. Und damit dann eben durch 4 teilbar sein.
vielleicht hilft das? glaube nicht, dass es mit einem Widerspruchsbeweis klappt.
wird da drauf eingegangen, warum nicht beide a und b ungerade sein können.
Aber den Beweis und ob das was nützt dafür, musst du dir selbst durcharbeiten.
Werde ich machen. Vielen Dank für deine Antwort und noch einen schönen Restabend :)
Wieso hast du mit "eine von beiden ungerade" eine Bedingung für den Widerspruch?
Das Gegenteil von deiner Aussage am Anfang wäre doch nur, wenn beide ungerade sind. Alles andere passt dazu doch.