Zeigen Sie, dass a² + 5b² kein Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Für alle a, b ∈ natürlichen ungeraden Zahlen?
Hallo erstmals,
leider weis ich nicht, wie ich den Beweis führen kann. Ich habe schon bewiesen, dass a² + 5b² gerade ist.
a und b habe ich wie folgt definiert:
a= 2k+1 und b= 2k´+1 mit k, k´ Element aus den natürlichen Zahlen (inkl. 0)
Da a² + 5b² = 4k² + 4k + 20 k´² + 20k´ + 6 ist, dachte ich mir dass ich eventuell durch das Wurzelziehen auf den Beweis komme. Leider weiß ich nicht weiter.
Ich bedanke mich schon mal im Vorhinein.
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MeRoXas/1444748679_nmmslarge.jpg?v=1444748679000)
Hier mal meine Überlegungen. Den Rest überlasse ich mal dir, es fehlen nur noch ein paar Zeilen. Ob das jetzt der eleganteste Weg ist, sei dahingestellt, aber er sollte funktionieren.
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Wenn a und b ungerade sind, dann gibt es natürliche Zahlen c und d so, dass gilt: a=2c+1 und b=2d+1. Damit ist dann:
a²+5b²=(2c+1)²+5(2d+1)²
=4c²+4c+6+20d²+20d
=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
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Nun nehme man an, das ganze sei eine natürliche Quadratzahl e²:
e²=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
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Fall I.: e ist gerade.
=> Es gibt ein f, sodass e=2f.
=> 4f²=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
=>2f²=2c²+2c+3+10d²+10d
=> -3=2(c²+c-f²)+10d(d+1)
Zeige nun, dass dies für natürliche c,d,f nicht möglich ist.
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Fall II.: e ist ungerade
=> Es gibt ein g, sodass e=2g+1
=> (2g+1)²=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
=>4g²+4g+1=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
=>1=2(2c²+2c+3+10d²+10d)-4(g²+g)
Zeige nun, dass dies für natürliche c,d,g nicht möglich ist.
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Wenn du das gemacht hast, ist der Beweis erbracht, denn es gibt nur diese zwei Fälle für e. Wenn beide Fälle niemals gelten können, gibt es ein solches e wie in der Annahme nicht. Die Annahme ist also falsch, deshalb muss das Gegenteil stimmen, also ist der Kram keine Quadratzahl.
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Tipp für beide Fälle: Du kannst noch 'ne 2 ausklammern und logischerweise auch durch diese teilen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RIDDICC/1514118406711_nmmslarge__377_0_256_256_4d25821de49a0a50641820db6fe23eed.png?v=1514118407000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
danke vielmals @MeRoXas.
also muss ich nurmehr zeigen, dass in beiden Fällen ein Widerspruch zustande kommt.
Danke Euch beiden für die schnelle Hilfe.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RIDDICC/1514118406711_nmmslarge__377_0_256_256_4d25821de49a0a50641820db6fe23eed.png?v=1514118407000)
- ist das vllt n Fall für vollständige Induktion? also so Diagonalen durch
- ich mein: wegen k und k'
- also für k=k'=1 ist es 4·1²+4·1+20·1+20·1+6=54 und damit haben wir den Induktionsanfang...
- dann nehmen wir an, dass es für (k;k') schon bewiesen ist... und fragen uns, ob es für den Nachfolger von (k;k') auch stimmt... also:
- Fallunterscheidung:
- (a) k>0: (k-1 ; k'+1)
- (b) k==0: (k+1 ; 0)
- hilft das was?
- nö oda? heul
- habt ihr kein Lehrbuch bekommen, in dem es fast schon drin steht?
- n Heuser? oder was man bei Zahlentheorie so hernimmt?
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- ja beim Induktionsbeginn...
- ach so: du solltest na klar k=k'=0 nehmen... *blush*
- echt? der Ansatz hilft? wer hätte das gedacht? ich seh da nämlich immer noch nix... :)
- magst du s hier weiter erläutern? oder hast keine Zeit?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RIDDICC/1514118406711_nmmslarge__377_0_256_256_4d25821de49a0a50641820db6fe23eed.png?v=1514118407000)
Danke für die schnelle Antwort @RIDDICC.
Nein haben wir nicht. Im Skriptum wird das auch nicht genauer erläutert.
Darf man bei der Induktion annehmen, dass k und k´ = 1 ist?
Den Induktionsbeweis verstehe ich und der hat mir wirklich weitergeholfen, danke nochmals. Leider hatte ich noch nie einen Induktionsbeweis mit zwei Variablen.