In einem Vektorraum ist ja die Skalarmultiplikation immer mit bestimmten Eigenschaften definiert. Die Skalare für die Skalarmultiplikation stammen dabei ja immer aus einem Körper, der separat definiert ist.
Nun kann eine Menge von Matrizen doch auch einen Körper bilden, nennen wir diesen Körper mal K. Und demnach könnte ich doch auch sagen, dass ich die Skalare für die Skalarmultiplikation in einem Vektorraum, nennen wir ihn V, aus einem Körper wähle, der eine Menge von Matrizen, also K, ist. Dann hätte ich doch den K-Vektorraum V.
Kann es nun also vorkommen, dass ich einen Vektorraum habe, bei dem bei der Skalarmultiplikation keine einfachen Zahlen verwendet werden, sondern Matrizen?
Für mich war die Skalarmultiplikation bislang immer vom Schema Zahl * Vektor. Aber ich finde einfach keinen guten Grund, weshalb es nicht auch Matrix * Vektor sein sollte.
Die Definitionen von Vektorraum und Körper sollten dies doch eigentlich zulassen. Oder sind dann zwangsweise bestimmte Körperaxiome nicht mehr erfüllt? Ich könnte als Körper ja beispielsweise die Menge aller 1×1-Matrizen nehmen, deren Einträge den reellen Zahlen entsprechen. Dann wäre die Skalarmultiplikation vom Schema Matrix * Vektor.