Ist es weil die Aussage wahr sein kann, obwohl a^2 niemals ungerade an sich ist?

Das ist falsch. Beispiel: a = 3 => a² = 9 (beide ungerade). Was du meinst, ist wahrscheinlich, dass a² (im reellen) nie negativ ist.

Warum die Kontraposition bewiesen ist, ist dir klar, oder? Also warum, wenn a gerade ist, auch a² gerade sein muss.

Die Kontraposition ist nun, dass wenn a² ungerade ist, auch a ungerade sein muss. Das ist aber gerade äquivalent zu der obigen Aussage. Wieso?

Wenn du weißt, dass aus A gerade B folgt, weißt du auch, dass wenn B nicht eintrifft, A auch nicht eingetroffen sein kann (wäre A eingetroffen, hätte es nach ersterer Aussage ja auch B gemusst). Also aus nicht-B folgt nicht-A und das ist gerade äquivalent zu aus A folgt B. Nichts weiter steht oben. Alternativ kannst du auch einfach zwei Wahrheitstabellen (eine für die Aussage "A => B" und eine für "nicht-B => nicht-A") machen, dann wirst du die Äquiavalenz sehen.

Ich mache mal weiter bei dem aufgestellten DGL-System wie es @poseidon42 schon gemacht hat, nur etwas allgemeiner. Rechts der Gleichungen muss nämlich nicht zwingend 0 stehen, sondern allgemein müssen beide Ausdrücke konstant sein.

(i) (dT/dt)/T(t) = k

(ii) (x^2 + 1)*(dX/dx)/X(x) = k

mit einer konstanten Zahl k.

Durch Integration folgen die Vorschriften

(i) T(t) = č e^(k t)

(ii) X(x) = ĉ e^(k arctan(x))

mit Integrationskonsten č und ĉ.

Ohne jegliche Anfangs-/End-/Randwerte lässt sich nur die allgemeine Lösung angeben, nämlich

y(x, t) = C e^(k (t + arctan(x))

mit einem beliebigen C (= č • ĉ) und k.

7 h • 12 / 6 • 5 / 7 = 10 h

Wieso rechne ich so?

Du hast einen (Anfangs-)Wert gegeben, nämlich 7 Stunden. Nun schaust du, ob die anderen Größen diesen Wert im Hinblick auf den gesuchten (End-)Wert proportional oder antiproportional verändern.

Dass doppelt so viel Öl nun vorhanden ist, spricht für eine Zunahme der Zeit - also proportionales Einwirken. Daher kann man die 7 Stunden mit 12 / 6 multiplizieren.

Dass doppelt so viele Maschinen laufen, spricht für eine Abnahme der Zeit - also antiproportionales Einwirken. Daher kann man die 7 Stunden auch noch mit 5 / 7 multiplizieren.

Achte darauf, dass bei proportionalen Verhalten immer der neue Wert oben im Zähler des Bruchs steht und der alte unten im Nenner. Beim antiproportionalen ist das genau umgekehrt.

Insgesamt erhalten wir also 7 h • 12 / 6 • 5 / 7 = 10 h Arbeitszeit.

Im dreidimensionalen Spezialfall besagt das Poincaré-Lemma, in die Sprache der Vektoranalysis überführt, dass ein auf einem einfach-zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld als Gradient eines Potentialfeldes, ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet durch Rotation eines Vektorpotentials, und eine skalare Felddichte („Quellendichte“) als Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt werden können.

Das Lemma sagt also aus, dass...

• ein wirbelfreies Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet als ein Gradientenfeld eines Skalarfeldes dargestellt werden kann.
• ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet als ein Rotationsfeld eines Vektorfeldes dargestellt werden kann
• ein Skalarfeld als eine Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt werden kann

Die zentrale Aussage ist im Grunde, dass die drei Felder konservativ sind, also Potenziale besitzen.

Wie bei Dezimalzahlen kommst du hier nicht weiter, also setzt du eine 0. Dann ist im Zwischenergebnis wieder eine 0 mehr usw. Es kommt also 10110,10... usw. raus.

Hier eine Tabelle, wie du es beschrieben hast, ausgefüllt.

Wie groß ist der Anteil von Bildröhren mit einer Lebensdauer von 5 Jahren und mehr

Kann man nicht klar sagen, da im Intervall 4 bis 6 Jahre nicht klar ist, was unter 5 Jahren liegt. Der Anteil muss aber zwischen

0,237 + 0,05 = 0,242

und

0,404 + 0,237 + 0,05 = 0,646

liegen.

Welche Lebensdauer wird von 80% der Bildröhren mindestens erreicht

Kann man ebenfalls nicht eindeutig sagen.

Kann mir jemand bestätigen ob das so stimmt?

Ja, das stimmt.

Dass zum Beispiel sowohl beim Wendepunkt als auch beim Sattelpunkt, es so ist, dass wenn die dritte Ableitung kleiner als null ist dann liegt eine Linkskrümmung zu einer Rechtschreibung vor?

Das ist richtig. Wenn die dritte Ableitung kleiner null ist, liegt bei der ersten Ableitung ein Hochpunkt vor (zweite Ableitung ist ja null), also nimmt die Steigung zuerst zu, dann ab - also die Ausgangsfunktion erst links, dann rechts gekrümmt. Analog im anderen Fall, nur dass dann ein Rechts-Links-Verlauf vorliegt (erste Ableitung hat Tiefpunkt, also erst abfallende Steigung, dann ansteigende). Alles natürlich mit der Bedingung, dass die Krümmung, also die zweite Ableitung, an der Stelle null ist

b)

Ich weiß gerade nicht, was bei dem zweiten Bild gerechnet wurde, aber ich würde so vorgehen.

Erstmal können wir intuitiv abschätzen, dass s_z wohl zwischen t / 2 und t liegen muss.

Der Anteil an der Masse der ausgeschnittenen Kreisscheibe ist

π r² t / (π R² t) = (r / R)².

Analog für die größere Kreisscheibe mit dem Loch dann

(π R² t – π r² t) / (π R² t) = 1 – (r / R)².

Wegen Achsensymmetrie entlang der z-Achse liegt der die z-Schwerpunktskoordinate (s_z1) der großen Scheibe bei t / 2. Jene der kleinen Scheibe (s_z2) bei t + t / 2 = 3 t / 2.

Mit den oben berechneten Verhältnissen erhalten wir demnach insgesamt

s_z = (1 – (r / R)²) s_z1 + (r / R)² s_z2

s_z = (1 – (r / R)²) t / 2 + (r / R)² 3 t / 2

s_z = (1 – (r / R)² + 3 (r / R)²) t / 2

s_z = (1 / 2 + (r / R)²) t.

r liegt zwischen 0 und R / 2, also liegt s_z zwischen t / 2 und 3 t / 4.

Bei a) habe ich r = R / 4^(1/3) raus, also wäre dann

s_z = (1 / 2 + (R / 4^(1/3) / R)²) t

s_z = (2^(–1) + 2^(–4/3)) t

Sieht nicht wirklich befriedigend aus - vielleicht habe ich auch einen Fehler gemacht.

Dadurch, dass man –1 nimmt, behalten die anderen Komponenten ihr Vorzeichen. Du musst es dir so vorstellen: Formt man das LGS nach x_1, x_2, x_3 und x_4 um, erhält man

x_1 = –3 + 5 x_3

x_2 = 1 – 2 x_3

x_3 = t

x_4 = 2

Damit würdest du in Vektorschreibweise die Lösungsmenge

x = (–3, 1, 0, 2) + t (5, –2, 1, 0)

erhalten. Da t irgendeine reelle Zahl sein kann, kannst du t durch –t ersetzen und erhälst

x = (–3, 1, 0, 2) + t (–5, 2, –1, 0).

Das ist dann genau die Spalte, wie sie oben steht. Mit dem –1 kannst du die restlichen Einträge der Spalte also einfach übernehmen.

Ist es richtig, dass die Strecke BB zu der Strecke AB in einem 90 Grad Winkel steht wie zum Beispiel hier:

Das muss nicht der Fall sein (stell dir zum Beispiel vor, neue Punkte C und C' würden auf der Geraden von AA' liegen und ungleich A und A' sein. Dann ist zwischen CB bzw. C'B' und CC' kein rechter Winkel mehr (hier exemplarisch dargestellt in der unteren Skizze).

Du hast direkt am Anfang einen Fehler gemacht. Die z-Koordinate ist 7 und nicht 17.

Ansonsten hast du aber korrekt weiter gerechnet. Mit der richtigen Zahl hättest du am Ende 9 = 9 und nicht 9 ≠ 19 erhalten, P liegt also in E.

Schlaf mehr. Nimm dir so lange Zeit zum Schlafen, dass du von selber aufwachst. Dein Gehirn ist nachts aktiv und in dieser Zeit vertieft es auch Inhalte, sodass sie länger gespeichert sind. Sechs Stunden sind definitiv nicht viel Schlaf: Werd nicht durch den Wecker wach, sondern schlaf aus.

Und zu den Grenzwerten: Schau einfach mal auf YouTube, dort müssten es mehrere Videos geben, wo es einfach erklärt wird.

Um etwas zu verinnerlichen, ganz hilfreich. Um schnell einzuschlafen, eher schlecht.

Es ist ja tan(x) = sin(x) / cos(x). Wenn du nun tan(x) ableitest, erhälst du mit der Quotientenregel (cos(x) cos(x) – sin(x) (–sin(x)) / (cos(x))² = 1/ cos²(x). Dabei wurde angewandt, dass sin²(x) + cos²(x) = 1 für alle x ist.

Frage beantwortet? :)

Wenn du die Skalarprodukte für beide Vektoren mit einem allgemeinen Vektor (die Koordinaten sind Unbekannte) berechnest, erhälst du zwei Gleichungen, die du mit dem Gaußverfahren lösen kannst. Der Lösungsraum hat dann die Dimension zwei.

Wenn man es als Arbeiter sieht - Ja.

Wenn man es als Mensch sieht, der gerade Spaß am Leben haben möchte - Teilweise.

Wenn du die restlichen noch einzeichnest, sieht es doch ganz gut aus. So sollte es aussehen:

Bei drei Stützpunkten ist es sinnvoll mit einem Interpolationspolynom von Grad zwei anzusätzen, da das Polynom dann eindeutig ist.

Der Ansatz nach Dividierter Differenzen mit Grad(p) = 2 ist dann

p(x) = a + b (x – x_1) + c (x – x_1) (x – x_2).

Nun setzen wir die Stützpunkte ein (z. B. x_1 = 0, x_2 = 1) und erhalten

p(x) = a + b x + c x (x – 1),

also

1 = p(0) = a

5 = p(1) = 1 + b <=> b = 4

3 = p(2) = 1 + 4 • 2 + c • 2 • (2 – 1) <=> c = –3.

Das Polynom ist also

p(x) = 1 + 4 x – 3 x (x – 1),

p(x) = 1 + 7 x – 3 x².

https://na.uni-tuebingen.de/ex/numinf_ss12/Vorlesung8_SS2012.pdf

Wie du argumentierst ist falsch.

1) Wie kommst du auf einen Grenzwert (und ist dieser mathematisch gemeint)?

2) 1/2 ist nicht 1/3 am nächsten, z. B. wäre schon 51/100 näher dran - allgemein kann man beliebig an 1/2 rankommen.

3) Wie kommst du auf Verlieren und Gewinnen im Zusammenhang zu 1/3?

4) Wieso sollten die Wahrscheinlichkeiten am höchsten sein? Die höchste Wahrscheinlichkeit ist 100 %.

Erst weitermachen, wenn man bis dahin alles verstanden hat - egal wie lange es dauert. Es baut - zumindest wenn die Lücken nicht all so groß sind - alles aufeinander auf.