Poincaré-Lemma erklärt?
Hallo zusammen kann mir jemand dass Poincaré-Lemma erklären in der Version von Vektoranalysis? Also mit Begriffen wie einfach-zusammenhängend, homotopie, konservativ etc? Die Version mit den Differentialformen ist mir unklar, bzw weiss nicht was Differentialformen sind.
lg und schönen Sonntag !
ah ja die Wikipedia version ist für mich höchst unklar, da die sätze so verschachtelt sind , bitte keine zitierung!
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Mathematiker, Mathematik
Im dreidimensionalen Spezialfall besagt das Poincaré-Lemma, in die Sprache der Vektoranalysis überführt, dass ein auf einem einfach-zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld als Gradient eines Potentialfeldes, ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet durch Rotation eines Vektorpotentials, und eine skalare Felddichte („Quellendichte“) als Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt werden können.
Das Lemma sagt also aus, dass...
- ein wirbelfreies Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet als ein Gradientenfeld eines Skalarfeldes dargestellt werden kann.
- ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet als ein Rotationsfeld eines Vektorfeldes dargestellt werden kann
- ein Skalarfeld als eine Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt werden kann
Die zentrale Aussage ist im Grunde, dass die drei Felder konservativ sind, also Potenziale besitzen.
Woher ich das weiß:Hobby – Mathematik (u. Physik)
Noch ne Folgefrage: quellfrei bezieht sich auf die Divergenz, wirbelfrei auf die Rotation, oder?