Lsg. der partiellen DGL?
Hallo,
wie kann man alle Lösungen der partiellen DGL
yt(x,t) - ((x^2)+1)yx(x,t) = 0 der Form
y(x,t) = X(x)T(t) bestimmen?
HINWEIS: Das t und x nach dem fetten y soll tiefgestellt sein.
Für die Beantwortung meiner Frage bedanke ich mich im Voraus.
2 Antworten
Den Ansatz hast du ja bereits geschrieben:
y(x,t) = X(x)*T(t)
Die partiellen Ableitungen folgen damit zu:
y_t(x,t) = X(x)*dT/dt
y_x(x,t) = dX/dx * T(t)
Einsetzen in die ursprüngliche partielle DGL liefert
X(x)*dT/dt - (x^2 + 1)*dX/dx * T(t) = 0
Ziel ist nun eine Seperation in Teile die nur noch von t abhängen und Teile die von x abhängen. Es folgt durch Division:
(dT/dt)/T(t) - (x^2 + 1)*(dX/dx)/X(x) = 0
Es sollte auffallen, dass der erste Summand nur von t abhängt und der zweite nur von x. Damit diese Gleichung also für alle x und t erfüllt ist müssen folgende Bedingungen für alle x und t simultan gelten:
(i) (dT/dt)/T(t) = 0
(ii) (x^2 + 1)*(dX/dx)/X(x) = 0
Für (i) folgt schnell:
(iii) (dT/dt)/T(t) = 0 --> d(log(T(t)))/dt = 0 --> log(T(t)) = log(c1) --> T(t) = c1
Für (ii) beachte, dass (x² + 1) > 0 für alle x gilt, sodass analog folgt
(iv) (dX/dx)/X(x) = 0 --> d(log(X(x)))/dx = 0 --> log(X(x)) = log(c2) --> X(x) = c2
Die einzige Lösung der gegeben Gestalt ist also die konstante Lösung mit:
y(x,t) = X(x)*T(t) = c2 * c1
Ich mache mal weiter bei dem aufgestellten DGL-System wie es @poseidon42 schon gemacht hat, nur etwas allgemeiner. Rechts der Gleichungen muss nämlich nicht zwingend 0 stehen, sondern allgemein müssen beide Ausdrücke konstant sein.
(i) (dT/dt)/T(t) = k
(ii) (x^2 + 1)*(dX/dx)/X(x) = k
mit einer konstanten Zahl k.
Durch Integration folgen die Vorschriften
(i) T(t) = č e^(k t)
(ii) X(x) = ĉ e^(k arctan(x))
mit Integrationskonsten č und ĉ.
Ohne jegliche Anfangs-/End-/Randwerte lässt sich nur die allgemeine Lösung angeben, nämlich
y(x, t) = C e^(k (t + arctan(x))
mit einem beliebigen C (= č • ĉ) und k.
Bei beiden Gleichungen muss rechts nur eine konstante Zahl stehen. Sie müssen aber nicht null sein.