Mathe Symmetrien rechnerisch bestimmen?
Hallo zusammen, ich bereite mich gerade auf Mathe vor und wir haben vor 2 wochen ein Thema durchgenommen und zwar Symmetrien bestimmen, ach ja, falls das hilft, das ist Stoff der 10ten Klasse am Gymnasium zur Einordnung
Damals habe ich es verstanden aber jetzt habe ich mir das, was ich aufgeschrieben habe angeschaut und verstehe es überhaupt nicht mehr, ich schicke gleich ein Foto dazu
In meinem Kopf macht es keinen Sinn, dass f(x)=f(-x) mit dem gegeben beispiel weil das 2 unterschiedliche Endterme sind aber laut der Lösung stimmt das, was mich verwirrt
Könnte mir jemand helfen und erklären, wieso das so ist oder ob dort ein Fehler enthalten ist? Ich freue mich über alle Antworten, danke schonmal im voraus😊
3 Antworten
Zur Prüfung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Nullpunkt) bestimmst Du f(-x), d. h. Du ersetzt jedes x im Ausgangsterm durch (-x) und vereinfachst den Term. In diesem Fall kommt derselbe Term raus wie bei der Ausgangsfunktion (nur sind die Summanden vertauscht, was ja bekanntlich am Ergebnis nichts ändert).
Somit gilt f(-x)=f(x), und das bedeutet, dass f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Ach, ich muss mich nochmal korrigieren, die Summanden wurden ja einfach vertauscht. Das macht Sinn, danke😊
Ja, bei f(-x) ergeben sich dieselben Summanden, nur in anderer Reihenfolge.
Danke, schönen Nachmittag Ihnen noch :)
weil das 2 unterschiedliche Endterme sind
Nein, die Terme sind identisch. Die Addition ist kommutativ, d.h. du darfst bei der Addition alle Summanden vertauschen, ohne dabei das Ergebnis zu ändern.
Um das Kriterium f(x)=f(-x) besser zu verstehen, kann man sich noch mal verdeutlichen, was diese Schreibweise eigentlich bedeutet und was genau bei einer Funktion(-sauswertung) passiert:
Der Ausdruck "f(x)" ist ein Platzhalter (i.d.R.) für eine Zahl. Diese Zahl ergibt sich, wenn man anstelle des x einen bestimmten Wert in die Funktion einsetzt. Wenn wir jetzt mal annehmen, dass x>0 ist, dann bewegen wir uns auf der x-Achse immer weiter nach rechts, je größer das x gewählt wird. Dementsprechend müssen unsere Funktionswerte y=f(x) auch allesamt im I. oder IV. Quadranten liegen, also rechtsseitig der y-Achse. Wenn wir stattdessen die Funktion mit "-x" auswerten, dann werden alle Funktionswerte linksseitig, also im II. oder III. Quadranten liegen.
Das Kriterium vergleicht also im Grunde nur: Wir gehen "x"-weit nach rechts und gleichermaßen "x"-weit nach links, und schauen ob die Funktionswerte gleich sind. Wenn man das für alle x-Werte mit JA beantworten kann, dann haben wir Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
Gegebene Funktion:
\[ f(x) = 2x + 2x \]
Schritt 1: Bestimmen von \( f(-x) \)
Setzen wir \(-x\) in die Funktion ein:
\[ f(-x) = 2(-x) + 2(-x) \]
\[ f(-x) = -2x - 2x \]
\[ f(-x) = -4x \]
Schritt 2: Vergleich von \( f(x) \) und \( f(-x) \)
- \( f(x) = 4x \)
- \( f(-x) = -4x \)
Die Funktion \( f(-x) \) ist nicht gleich \( f(x) \), sondern \( f(-x) = -f(x) \).
Symmetrie bestimmen:
Da \( f(-x) = -f(x) \) gilt, ist die Funktion **punktsymmetrisch zum Ursprung** und nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusammenfassung:
In deinem Beispiel scheint ein Fehler bei der Bestimmung der Symmetrie vorzuliegen. Korrekt ist:
\[ f(x) = 4x \]
\[ f(-x) = -4x \]
Die Funktion ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.
Danke, das war die erklärung, die ich gebraucht habe
Also nur um nochmal sicherzugehen, im letzten der 3 Terme ist ja das Vorzeichen - nicht beim 2ten sondern beim 1ten Exponenten
Aber das ist egal, weil es weiter schlussendlich das gleiche ergibt?