Erwartungswert Übung?
In einer Urne befinden sich Kugeln mit folgenden Aufschriften:
+0,5€ +2€ -5€
Die Wahrscheinlichkeit, dass man Kugeln mit +0,5€ bzw. +2€ zieht, liegt bei 0,3. Ein Spieler zieht zweimal hintereinander eine Kugel mit zurücklegen und notiert jeweils ihre Zahl.
Die Summe dieser beiden Zahlen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) geben an, wie viel Euro der Spieler ausbezahlt bekommt (bei positiven Vorzeichen) bzw. was der Spieler bezahlen muss (negatives Vorzeichen).
a. Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Spieler bei einem Spiel Geld gewinnt.
b. Wie viele Spiele müssen gespielt werden, damit der Spielanbieter mit Einnahmen von ca. 2.000€ rechnen kann?
Kann mir jemand die Aufgaben erklären und mir ein wenig helfen? Wir haben das Thema heute angefangen im Unterricht und ich habe nichts verstanden.
2 Antworten
Ich gehe mal davon aus, es soll jeweils 0,3 heißen, so dass für -5€ noch die Wahrscheinlichkeit 0,4 übrig bleibt. Ansonsten wäre die Aufgabe eh nicht lösbar (was Teil b) angeht)...
Wenn ihr das Thema neu angefangen habt, dann beginne mit einem Baumdiagramm, um Dir die Vorgehensweise klar zu machen (und Du den Baum siehst und ihn Dir nicht vorstellen musst). D. h. Du beginnst mit den 3 Ästen 0,5€, 2€ und -5€ und schreibst jeweils die Wahrscheinlichkeiten dran, dann folgen an jedem Ast im zweiten Schritt nochmal die gleichen Äste mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten (die Kugel werden ja zurückgelegt).
Somit bekommst Du z. B. für den Pfad (0,5€|0,5€) auf die Wahrscheinlichkeit p=0,3 * 0,3 = 0,09. D. h. mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 (=9 %) gewinnt der Spieler 1,- € (0,5+0,5).
Das machst Du mit allen Pfaden: Wahrscheinlichkeit ausrechnen und den zugehörigen Gewinn/Verlust.
Bei a) kommen dann alle Pfade in Frage, die einen Verlust ergeben (also alle Pfade bei denen mindestens ein Ast -5€ "heißt". Die Wahrscheinlichkeiten dieser Äste werden addiert.
b) hier musst Du zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit ausrechnen, also den "Gewinn" jeden Pfades mal seiner Wahrscheinlichkeit und diese Ergebnisse addieren. Das Ergebnis ist die zu erwartende Auszahlung pro Spiel. Ein Minus bedeutet dabei, dass der Spieler Verlust macht, und somit der Spielanbieter Gewinn. Jetzt teilst Du 2.000,- durch diesen Gewinn des Spielanbieters und hast die Anzahl der nötigen Spiele um 2.000,- € einzunehmen (aus Sicht des Anbieters).
praktisch ist :
bei a) erhält man auch die P für b), wenn man die gesamten Möglichkeiten aufschreibt
.
Münzen Summe +/- P
0.5 0.5 1 + (0.3)²
0.5 2 2.5 + (0.3)²
2 0.5 2.5 + (0.3)²
2 2 4 + (0.3)²
0.5 -5 -4.50 - 0.3*0.4
-5 0.5 -4.50 - 0.4*0.3
2 -5 -3 - 0.3*0.4
-5 2 -3 - 0.4*0.3
-5 -5 -10 - 0.4*0.4
Für + findet man 4 * (0.3)² = 0.36
.
b)
Was ist bei einem Spiel los ?
.
(1+2.5+2.5+4)*0.09
+
(-4.50 + -4.50 + -3 + -3) * 0.12
+ (-10)*0.16
= -2.50...............................Das ist der Erwartungswert !!!!! aus Sicht des Spielers. Ein Verlust von 2.50
Aus Sicht des Veranstalter ein Gewinn von 2.50
2000/2.5