Wieso müssen Funktionen bei der Untermannigfaltigkeit stetig diff'bar sein?
Hallo!
Wir haben die Untermannigfaltigkeit wie folgt definiert:
Die Definition scheint mir euch geometrisch sinnvoll zu sein, denn die Untermannigfaltigkeit beschreibt ja eine Teilmenge, die lokal wie eine Teilmenge mit Dimension n-k dargestellt werden kann.
Nur ich habe noch nicht den Sinn in dieser geometrischen Interpretation bzw. auch allgemein gesehen, warum die Komponentenfunktionen f_i:U-> R^n-k stetig differenzierbar sein sollen?
Vielen Dank im Voraus!
2 Antworten
Differential-Topologie ist fast 35 Jahre her bei mir, aber vielleicht bekomme ich das noch zusammen…😅
Das von Dir beschriebene Beispiel bezeichnet UMFs der Klasse C^r; das ist gerade die Definition einer C^r-UMF. Es muss hierbei mindestens r = 1 gelten, da Submersionen per Definition differenzierbar sind. Alle Punkte p aus M, die gleichzeitig in U liegen, sollen durch f ja auf 0 abgebildet werden. Um den Satz über die Inverse Funktion anwenden und ein sinnvolles Urbild von 0 unter f bilden zu können, sollte die Ableitung auch stetig sein. Damit vermeidet man zum Beispiel Selbstdurchdringungen von UMFs…
Das müsste ich mir nochmal anschauen, ist zu lange her - aus der Erinnerung weiss ich nur, dass man mit der Differenzierbarkeit Ecken und Kanten und mit der Stetigkeit Selbstdurchdringungen ausschliesst…😅
Kannst Dir das ja mal am Beispiel der Lemniskate im R^2 überlegen…
Vielen Dank für deine Antwort, die ja trotz der 35 Jahre inhaltlich sher ausführlich ist!
Was meinst du genau mit
sinnvolles Urbild von 0 unter f bilden zu können,
was ist der Zusammenhang zwischen der Stetigkeit der Ableitung und der sinnvollen Konstruktion des Urbilds?
Das ist ja gerade der Satz über die Inverse Funktion: wenn eine Funktion in einem Punkt p STETIG differenzierbar ist und das Differential nicht verschwindet, ist sie lokal invertierbar, d.h. in diesem Fall existiert ein eindeutiges Urbild - bei Selbstdurchdringung des Urbildes hätte man eventuell mehrere Urbild-Zweige…
Weil man eine Cr untermanigfaltigkeit definiert
Verlangt man weniger bekommt man eine Cs untermanigfaltigkeit einer Cr Mannigfaltigkeit was wohldefiniert ist mit der categorieneinbettung id: Crmf-->Csmf - anders gesagt weil jede Cr mf auch eine Cs ,s<r ist.
Eine weitere Frage:
Warum muss das Differenzial unbedingt surjektiv sein, also warum muss die Abbildung f eine Submersion sein?