Hat jedes Polynom im Zahlenbereich der komplexen Zahlen eine Lösung/Nullstelle?
Wenn ja, wie lautet der Beweis dafür ?
3 Antworten
Ja, das ist der Fundamentalsatz der Algebra. Mit ein bisschen Wissen aus Funktionentheorie I ist der Beweis ein Einzeiler: angenommen, das Polynom P mit Grad n >= 1 besässe keine Nullstellen; dann wäre 1/P eine beschränkte ganze Funktion, nach dem Satz von Liouville somit konstant…
Jeder Beweis des Fundamentalsatzes hat seine Raffinesse. Du musst bedenken, dass das einmal eines der am meisten gefeierten Resultate der Mathematik war!
Der m.W. einfachste Beweis (in dem Sinne, dass er die geringsten theoretischen Vorarbeiten benötigt) stammt von Gauss und benötigt nur, dass reelle Polynome ungeraden Grades stets eine Nullstelle haben - was anschaulich offensichtlich und begrifflich eine simple Folge des Zwischenwertsatzes ist. Auch den kann man aber nicht "eben mal" hier hinschreiben... Man macht dabei vollständige Induktion nach der höchsten Potenz von 2, die den Grad des Polynoms teilt.
Ja, jedes nicht konstante Polynom hat eine. Das besagt der Fundamentalsatz der Algebra.
Beweise findet man dazu gleich mehrere.