Wenn f gleichmäßig stetig ist, ist dann die Funktion auch beschränkt auf einer Teilmenge der reelen Zahlen?
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beschränkt auf einer Teilmenge der reelen Zahlen
Wie meinst du das genau?
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Die Funktion geht von L eine Teilmenge der reelen Zahlen auf R
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Ist L beliebig, oder erfüllt L noch bestimmte Eigenschaften? (Zumindest dass L beschränkt ist)
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Ja L ist beschränkt
2 Antworten
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Nein. Nehme als Beispiel
ist gleichmäßig stetig., aber auf allen Intervallen
der offensichtlich eine Teilmenge der reellen zahlen ist, nicht nach oben beschränkt und somit nicht beschränkt.
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Eigentlich sollten wir zeigen, dass die Aussage gilt, was wenn man nur ein Intervall ohne unendlich betrachtet?
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Versuche folgende Idee auszuformulieren.
Wegen der gleichmässigen Stetigkeit gibt es zu epsilon = 1 ein delta > 0, so dass usw.
Wegen der Beschränktheit von L findet man eine endliche Überdeckung von L mit offenen Umgebungen, d.h. Intervallen der Länge delta/2.
Nun "hangelt" man sich von links nach rechts durch. Man startet mit einem f(x) = y. Alle Funktionswerte in der rechts benachbarten Umgebung sind <= y+1. Nach endlich vielen Schritte ist man rechts angekommen und hat die obere Schranke für f erreicht.
Wenn L nicht zusammenhängend ist, muss man die (endlich) vielen Lücken in der Überdeckung noch beachten, was aber kein Problem ist.