Wann ist eine Funktion kompakt?
Wie kann ich hier eine Aussage über die Kompaktheit treffen?
Ich bin aktuell noch ziemlich überfordert in der Anwendung.
Kompaktheit bedeutet ja Beschränktheit & Abgeschlossenheit.
Meine Frage:
Wie kann ich Beschränktheit & Abgeschlossenheit nachweisen?
Ich habe gehört, dass Stetigkeit auch eine Voraussetzung für Kompaktheit ist (f ist in x=0 nicht stetig). Aber in welchem Begriff genau ist denn die Stetigkeit definiert - in der Beschränktheit oder Abgeschlossenheit?
Mit nachweisen meine ich logisch begründen (keine Rechnungen, Beweise etc.) :)
Kompaktheit bezieht sich auf Mengen. Was meinst du mit kompakte Finktoon? Das Bild der Funktion?
Ja, also es geht konkret um die lokalen Extrema von f auf der Menge M. Ich komme auf 2 Extrema. Jetzt möchte ich nachweisen, dass die Menge kompakt ist für den Satz von Min. & Max.
1 Antwort
Eine Menge A € R(n) nennt man beschränkt, wenn sie Teilmenge einer Kugel K(n) ist. Anders gesagt, wenn man eine Kugel mit Radius r findet, welche die Menge A einschliesst.
Eine Menge A € R(n) nennt man kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Betrachtet man eine Kurve, müsste man zunächst definieren, ob der Definitionsbereich bzw. der Wertebereich Teil der Menge ist. Bei z.B. sin(x) ist der Definitionsbereich nicht beschränkt, der Wertebereich dagegen ist kompakt.
Im Falle der Kurve f(x,y) = (2(y-1)²+1)/x ist weder der Definitionsbereich beschränkt (denn der liegt in R²), noch der Wertebereich (denn der liegt in R).
Die Nebenbedingung x² = 1 ändert daran nichts.
Mit der Nebenbedingung x = 1 hat f(x,y) das Minimum +1 bei y = 1, der Wertebereich liegt jedoch in [1,+infinity)
Mit der Nebenbedingung = -1 hat f(x,y) das Maximum -1 bei y=1, der Wertebereich liegt jedoch in [-1,-infinity)
Mit der Nebenbedingung x=+1 entsteht eine nach oben offene Parabel mit dem Minimum z = 1. Mit der Nebenbedingung x=-1 entsteht eine weitere nach unten offene Parabel als Spiegelung der ersten Parabel an der y-Achse. Diese hat ein Maximum bei z = -1. Die beiden Parabeln haben keine Schnittmenge. Wie man die beiden Extrempunkte im Hinblick auf die Gesamtkurve bezeichnet, kann ich leider nicht beantworten.
Danke für die Erklärung. Was mir nicht ganz klar ist: Wie kommst du darauf, dass das Minimum bei +1 und das Maximum bei -1 ist? Ich hätte jetzt aufgrund der Funktionswerte gedacht, es sei umgekehrt. Oder ist das komplett falsch, anhand der Funktionswerte über Min./Max. Aussagen zu treffen?