Funktion die differenzierbar ist aber nicht stetig differenzierbar ist?
Für eine stetig differenzierbare Funktion gilt:
1.) f(x) auf [a,b] stetig ist
2.) f(x) auf ]a,b[ differenzierbar ist
3.) f´(x) auf ]a,b[ stetig ist.
Nun finde ich kein Beispiel, bei dem 1 und 2 aber nicht 3 gilt. Ist die Ableitung jeder differenzierbaren Funktion stetig? Außerdem folgt sowieso 1 aus 2, oder?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
2), aber nicht 1.) gilt für f(x) = x^0,5 auf ]0,1[ und f(0) = 1 und f(1) = 0. Diese Funktion ist am Rand nicht stetig.
Aber 1a.) f(x) auf ]a,b[ stetig folgt aus 2).
Beweis:
Wäre f an Stelle x nicht stetig, so gibt es einen "Sprung", d.h. in beliebiger Näher zu x sind alle werte | f(x+epsilon) - f(x) | > delta für ein positives delta. Dann ist Differenzenquotient | f(x+epsilon) - f(x) | / epsilon > delta / epsilon und geht gegen unendlich für epsilon gegen 0.
2 ist auch Voraussetzung für 3), d.h. wenn 3) gilt, gilt auch 2)
Zur eigentlichen, wirklich sehr interessanten Frage
Probier mal auf [a,b] = [-1;1]
f(x) := x^2* sin(1/x) für x != 0 und f(0) :=0
außerhalb der 0 ist es offenbar stetig diff.bar.
an der Stelle x=0 ist |f(x)| < x^2, d.h. |f(x) -f(0)| / |x| < |x|, d.h. f'(0) = 0
außerhalb der 0 ist
f'(x) = 2x * sin(1/x) - x^2* x^(-2) * cos(1/x) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x) mit unendlich vielen Werten 1 (oder -1 oder irgendwas dazwischen) in jeder epsilon-Umgebung der 0.
Ich hoffe, ich habe richtig gerechnet.
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Wäre schön gewesen, wenigstens ein Danke zu bekommen oder ein DH, vom FS oder einem anderen math. interessierten Leser. Immerhin habe ich die Frage beantwortet und ich habe ca. 2 Stunden gebraucht, ein Beispiel zu finden und durchzurechnen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Bevarian/1444744052_nmmslarge.jpg?v=1444744052000)
Außerdem folgt sowieso 1 aus 2, oder?
Auch wenn ich nur ein Schmalspurmathematiker bin: nein! a und b können doch Definitionslücken darstellen?!?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Eisfreak/1600887807223_nmmslarge__558_0_559_559_30cf0966600819dfed6d82e9b086b636.jpg?v=1600887807000)
Aber dann ist die Funktion ich differenzierbar, wenn sie Definitionslücken hat.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/pasixundy/1468625517173_nmmslarge__140_26_236_236_84d0291fba10a3d681923e35fad1d897.jpg?v=1468625517000)
Ja ein Bsp wo 1) und 2) nicht zutreffen wäre f(x)-> |x| ;
Sie wäre zwar stetig, da man sie in einem Zug zeichnen kann. Trotzdem ist sie nicht differenzierbar für x=0. An dem Punkt kannst du nämlich kein eindeutige Steigung ausmachen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/pasixundy/1468625517173_nmmslarge__140_26_236_236_84d0291fba10a3d681923e35fad1d897.jpg?v=1468625517000)