Differentialquotient der partiellen Ableitung/verschiedene Definitionen?
Hallo!
Ähnlich zu einer letzten Frage bzgl. der partiellen Differentierbarkeit hier noch eine:
Wir haben in der Vorlesung partielle Differenzierbarkeit wie folgt definiert:
mit
in Forster wird es so definiert:
In der ersten Definition soll ja gelten:
, das würde ja nach dem Differentialquotienten folgendes heißen:
dadurch, dass ja aber t=0 ist, ist diese Schreibweise das gleiche, als würde man t anstatt h gegen Null laufen lassen, also:
Oder hat dies einen anderen Grund?
Eigentlich müsste es ja nach der Definition des Differentialquotienten wie zweiteres aussehen.
Vielen Dank!
Kurzum ist die Frage: Gilt bzw. warum gilt die folgende Gleichheit:
1 Antwort
Das was du im ersten Satz (das ist keine Definition!) hast ist doch nicht die Definition der partiellen Ableitung? Wie kommst du auf diese Idee? Partielle Ableitungen werden lange vor der mehrdimensionalen Ableitung (deren Existenz im Satz vorausgesetzt wird) definiert. Der Satz sagt lediglich aus das WENN die Ableitung an der Stelle a existiert, sie dann durch den Gradienten an der Stelle a gebildet wird, also durch den Vektor der partiellen Ableitungen von f nach jeder Variablen.
Ich verstehe das Problem nicht. Die partielle Ableitung heißt "Ableitung", weil ein Differentialquotient verwendet wird, und zwar der der entsteht wenn man in einer Funktion mit mehreren Variablen alle Variablen bis auf eine als konstant ansieht. Die Ableitung IST der Differentialquotient.
Mir geht es darum, dass ja folgende Gleichheit gilt:
d/dt f_i(x+te_j) |_t=0=lim_t->0 (f_i(x+te_j)-f_i(x)/(t).
Nach der Definition von d/dt g(t) für irgendein g in einer Variable, gilt ja:
d/dt g(t) = lim_h->0 (g(t+h)+g(t))/(h).
Wenn man jetzt die obige Funktion f_i(x+te_j) in untere einsetzen würde, dann würde man ja erhalten:
d/dt f_i(x+te_j) |_t=0=lim_h->0 (f_i(x+(t+h)e_j)-f_i(x+te_j)/(h) |_t=0
und da ist jetzt meine Frage, ob man, da ja t=0 im Differentialquotient gilt, das h durch das t ersetzt, denn ansonsten müsste man ja ein solches h gegen Null laufen lassen und NICHT die Variable, nach der differenziert wird.
Kannst du jetzt mein Problem erkenne?
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eben gerade wurde auch die korrekte Definition in den Beitrag eingefügt.
Kannst du jetzt mein Problem erkenne?
Nein, ich kann das was du da schreibst nicht mehr lesen, da in den Kommentaren keine Formeln möglich sind. Ich bin aber der Meinung dass du viel zu kompliziert denkst. Beachte dass in der obigen Schreibweise wegen des e_j (also dem j-ten Einheitsvektor) der Differentialquotient eben nur nach der j-ten Variblen der Funktion f_i gebildet wird. Also eben genau die partielle Ableitung nach der j-ten Variablen, die anderen bleiben konstant.
Ok, danke vielmals für deine Hilfe!
Mir ging es eigentlich darum, zu verstehen, warum die (in der Ergänzung des Beitrags aufgeführten) Gleichheit denn gilt, weil ich mit der Notation nicht so zu recht komme.
(Die Gleichheit gilt, oder? Nicht das ich das ganz falsch aufnehme)
Ja, das stimmt. Dankeschön!
Wir haben die partielle Differentierbarkeit nach diesem Satz definiert (siehe oben korrigierte Fragestellung (wenn es genehmigt wurde)).
Meine Frage bezieht sich darauf, dass links von der Gleichung ja die Partielle Ableitung aufgeführt ist (nach der Definition 2.3.2). Und in der Definition aus Forster ist die partielle Ableitung als Differentialquotient definiert, daher ist meine Frage, wieso man das in diesen beiden Notationen schreiben kann, da ja, wie in der Frage erwähnt, eigentlich der Limes gegen ein gesondertes h laufen sollte und nicht gegen das t.