Man sagt Polynome seien immer differenzierbar und dadurch auch stetig, arctan(1/x) ist ein Polynom, ist es dadurch auch immer stetig, obwohl durch 0?
bei 1/x darf ich ja nicht durch 0 teilen. Ist trotzdem dei Funktion stetig, weil es ein Polynom ist?
Ich habe mich falsch ausgedrückt, arctan(1/x) ist kein Polynom, aber ableitbar, dadurch ist ja stetigkeit voraussgesetzt? Aber eigentlich ist 1/0 nicht definiert, darf ich dann trotzdem sagen arctan(1/x) sei stetig?
2 Antworten
darf ich dann trotzdem sagen arctan(1/x) sei stetig
Wenn der Definitionsbereich so gewählt ist, dass da keine Definitionslücken und umsteigen stellen enthalten sind, kannst du sagen, dass die Funktion stetig ist.
Es reicht aus, dass du damit argumentiert, dass es eine Verknüpfung stetiger Funktionen ist
Okay danke, aber es ist ja nicht stetig für einen Punkt, warum darf ich das trotzdem so begründen? Ich habe eben eine andere Frage hier gesehen, da hat jemand gefragt ob arctan(e^-x) stetig sei, er hat auch versucht per Ableitung zu argumentieren, kann ich sagen dass das stetig sei, wegen Verknüpfung stetiger Funktionen?
Man nennt eine Funktion stetig, wenn sie in jedem Punkt der Definitionsmenge stetig ist. Und 0 ist nunmal nicht in der Definitionsmenge enthalten. Die Funktion lässt sich allerdings nicht stetig in 0 fortsetzen, weil sich die beidseitigen Grenzwerte für x → 0 unterscheiden.
arctan ist kein Polynom.
Meiner Erinnerung nach haben Polynome die Form Σa_i*x^i
Okay danke, aber arctan ist ja differenzierbar, wäre dadurch nicht automatisch arctan(1/x) stetig`?
arctan(1/x) hat bei x=0 ein Problem, wie du richtig festgestellt hast. Wenn es eine hebbare Lücke ist, wird es nicht so tragisch sein.
(Ist aber keine hebbare Lücke. Die Funktion ist nicht stetig.)
Danke, aber arctan(1/x) ist doch immer differenzierbar, weil ich ja sage es gibt dazu eine Ableitung, müsste man bzw. dürfte man dann nicht sagen, dass es auch immer stetig ist?