Wie viele Lösungen (x,y) hat die Gleichung 3x+5y=2019 ,dabei sind x,y positive ganze zahlen?
Steht in der frage
3 Antworten
y kongruent 0 modulo 3
x kongruent 3 modulo 5
kleinstmöglicher echt positiver Wert für y ist 3
2019 - 5 * 3 = 2004 = 3 * 668
Um durch wiederholtes Abziehen von 15 vom Startwert 2019 bzw. von 5 von 673 nicht unter 0 zu kommen, hat man maximal 134 Schritte. Dann landet man bei 9 = 3 * 3 > 0.
134 ist die Antwort.
Die Lösungen sollen ja positiv und ganzzahlig sein. Ich würde sagen, es sind 134 Stück:
(x; y) = {(3; 402), (8; 399), (13; 396), …, (668; 3)}
allgemein: (5n + 3; 402 – 3n) mit n Є [0; 133]
Damit bekomme ich alle Zahlen mit der Einerstelle 3 oder 8, und genau die brauche ich (siehe Kommentar von Willy1729).
0 ist aber nicht positiv, daher habe ich es weggelassen ;-)
Die Anzahl der Lösungen kannst du in einer Ebene darstellen. Dabei formst du zunächst nach y um:
3x+5y = 2019
y = (2019-3x)/5
Das ist eine Geradengleichung und alle Punkte, die auf der Geraden liegen, sind eine Lösung.
Genau.
Wenn Du die Gleichung dann noch zu y=403,8-0,6x umformst, kannst Du schnell die Zahl der Lösungen ermitteln.
403,8 wird nur dann ganzzahlig, wenn eine Dezimalzahl mit einer 8 als einziger Nachkommastelle abgezogen wird.
x muß also eine ganze Zahl mit 3 oder 8 am Ende sein.
Die höchste Zahl für x wäre dann 673, denn 673*0,6=403,8 und 403,8-403,8=0.
Lösungen sind also alle x zwischen 3 und 673, die eine 3 oder eine 8 am Ende haben. Das sollten 135 sein, wenn ich mich nicht verrechnet habe (2 in jedem Zehnerblock bzw. 20 in jedem Hunderterblock.)
Unten hat einer was von 134 geschrieben, aber das ist eine gute Lösung.
Bei mir ist auch y=0 zugelassen, also die Kombination 673;0.
In der anderen Antwort ist das kleinste y wohl 3.
Die letzte Kombination ist 668;3, während meine 673;0 ist, denn die Null ist auch eine ganze Zahl.
Allerdings kann man sich darüber streiten, ob man sie als positiv betrachtet.
Meist werden die ganzen Zahlen größer oder gleich Null als nichtnegative ganze Zahlen bezeichnet.
Ist also Ansichtssache, ob man auf 134 oder auf 135 Lösungen kommt.
Bei näherer Betrachtung würde ich vielleicht doch zu 134 tendieren und die 135. Kombination als Zweifelsfall erwähnen.
Jo, ich meinte nur, dass [0;133] eigentlich sowohl die 0 als auch die 133 mit umfasst
Das bezieht sich auf n, nicht auf x oder y.
Du kommst dann auf alle Kombinationen mit ganzen Zahlen zwischen
3;402 und 668;3, wenn Du alle n zwischen 0 und 133 einsetzt.
Die 673;0 ist dann nicht dabei, denn die bekommst Du nur mit n=134.
Für x ganze Zahlen einsetzten und schauen, ob y auch eine ganze ergibt
Was genau bedeutet hier kongruent?
Ich dachte immer "(deckungs)gleich"