Wie verändert sich die Seitenlänge eines Quadrats, wenn der Flächeninhalt verdoppelt wird?
Frage steht oben... ich soll es einer Bekannten erklären, aber finde keine Lösung ?...
Wenn sich die Seitenlänge verdoppelt, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt.. aber da ?? LG
8 Antworten
Das kann man sich ja relativ einfach überlegen. Im Quadrat gilt ja, dass sich der Flächeninhalt A aus den Seiten a berechnet als
A = a²
Beispiel: Ist eine Seite 2cm lang, dann gilt
A = 2cm * 2cm = 4cm²
Verdoppelst Du nun die Fläche, dann muss sich a jeweils um einen Faktor x verlängern, so dass gilt: x * x = 2, also x² = 2 - und das gilt nur für Wurzel(2).
Zeichne mal ein Quadrat. Und teile dieses Quadrat über die Ecken in 4 Dreiecke. Wenn du diese Dreiecke raus klappst, bekommst du ein neues Quadrat, das doppelt so groß ist, und dessen Seitenlänge genau der Diagonale des ursprünglichen Quadrats entspricht.
Lerne: Wenn du die Fläche eines Quadrats verdoppelst, entspricht die neue Seitenlänge der früheren Diagonale.
Und was ist allgemein der Flächeninhalt? Das Quadrat der Seitenlänge. Und wie kommt man andersrum vom Quadrat auf die Seitenlänge? Genau andersrum, indem man die Wurzel zieht.
A = a^2
a = wurzel(A)
2*A = a^2
a = wurzel(2A) = wurzel(2) * wurzel(a)
Die Seitenlänge verändert sich also um wurzel(2)
Das ist ein bisschen unglücklich formuliert. Gemeint ist wohl: Auch die doppelte Fläche von A (=2A) berechnet sich aus dem Quadrat von Seitenlängen a. Da, wie darüber gezeigt, gilt: a = Wurzel(Flächeninhalt) gilt eben hier: a = Wurzel(2A) und das ist wegen der Wurzelgesetze eben a = Wurzel(2) * Wurzel(A).
Das "untere" a ist ein "anderes a" als das "obere" a...
Man kann das ganze symbolisch lösen. Ich würde aber sagen, dass auf deinem Level es ausreichen würde, wenn du einfach ein Quadrat nimmst mit der Seitenlänge 1 und dem Flächeninhalt 1. Dann verdoppelst du den Flächeninhalt und findest heraus, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Flächeninhalt 2 ergibt. Das ist der Faktor für die Seitenlänge (hier 1).
Seitenlänge (neu) = Seitenlänge (alt) · √2
Beispiel:
- 10 cm · 10 cm = 100 cm²
- 10 cm · √2 = 10 cm · 1,4142 = 14,142 cm
- 14,142 cm · 14,142 cm = 200 cm²
Die neue Seitenlänge entspricht dabei der Diagonalen des alten Quadrates:
- a² + b² = c²
- c = √ (a² + b²)
- c = √ ((10 cm · 10 cm) + (10 cm · 10 cm))
- c = √ (100 cm² + 100 cm²)
- c = √ 200 cm²
- c = 14,142 cm
Die Blattformate sind zwar nicht quadratisch, aber ähnlich konzipiert. Ein A4-Blatt hat die doppelte Fläche eines A5-Blattes. Die Seitenlänge erhöht sich um den Faktor √2.
Danke, soweit nachvollziehbar außer diese Zeile
2*A=a^2 .. ich hab jetzt mal als Bsp. a=2 dann wäre diese Aussage ja nicht richtig oder ??