Wie löst man diese Stochastik Aufgabe?
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Prüfen Sie die Ergebnisse jeweils auf Stochastische Unabhängigkeit.
E1: „Die Augensumme beträgt 6“
E2: „Die Augenzahlen sind gleich“
Wie kommt man hier auf die Lösung der Schnittmenge 1/36 tel?
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeiten 5/36 tel und 6:36 tel?
2 Antworten
Die Plus innerhalb der Klammern stellen die Schnittmenge dar. Habe keine Lust, das Zeichen im Internet zu suchen
Alle möglichen Ereignisse: 6² = 36
E1 - Möglichkeiten: P(3 + 3) + P(3 + 3) + P(2 + 4) + P(4 + 2) + P(1 + 5) + P(5 + 1) = 6/36
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 6/36 und nicht 5/36, - wie in deiner Lösung vorgegeben - da P(3 + 3) doppelt zählt, weil du mit beiden Würfeln die 3 würfelst und das so nach demselben Prinzip wie bei P(4 + 2), P(2 + 4) umkehrst.
Eine andere Interpretation ist die Kommunitativität, die bei jeder Multiplikation gilt: P(3 + 3) = 1/3 • 1/3
Die Faktoren 1/3 und 1/3 lassen sich kommutativ vertauschen, ohne das Ergebnis zu ändern, wodurch P(3 + 3) praktisch doppelt zählt
-> 6 Ereignisse möglich; je möglichem Ereignis wird 1/36 hinzuaddiert, da jede Zahl pro Würfel eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 hat und das miteinander multipliziert wird, also:
Schnittmenge von 3 und 3 würfeln = 1/6 • 1/6
1/36 = 1/36 -> stochastisch unabhängig
Die Augenzahlen sind gleich:
P(1 + 1) + P(2 + 2) + P(3 + 3) + P(4 + 4), P(5 + 5) + P(6 + 6) = 6/36
Du schreibst die die beiden Mengen auf.
Augensumme beträgt 6: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (1,5)}
Diese Menge hat 5 Elemente, also gilt:
P(Augensumme = 6) = 5/36
Beide Würfel sind gleich: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
Diese Menge enthält 6 Elemente, also ist
P(Beide Würfel sind gleich) = 6/36
Die Schnittmenge enthält alle Elemente, die in beiden Mengen drin sind:
{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (1,5)} ∩ {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = {(3,3)}
Die Schnittmenge enthält also nur 1 Element, darum ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig zutreffen, gleich 1/36.
Nein. Das ist falsch. Es gibt nur ein Ereignis (3,3), aber es gibt die beiden Ereignisse (2,4) und (4,2).
Du schreibst ja selber korrekterweise, dass es insgesamt 6² = 36 mögliche Ereignisse gibt. Darunter kommt aber das Ereignis (3,3) genau einmal vor. Du kannst das nicht einfach doppelt zählen. Du hättest dann nach deiner Logik insgesamt folgende Ergebnisse:
falsch ist P(Summe=2) = 2/36 (weil du auch hier (1,1) nach deiner Logik doppelt zählen musst)
P(Summe=3) = 2/36
falsch ist P(Summe=4) = 4/36 ((2,2) doppelt)
P(Summe=5) = 4/36
falsch ist P(Summe=6)=6/36
P(Summe=7)=6/36
falsch ist P(Summe=8)=6/36
P(Summe=9)=4/36
falsch ist P(Summe=10)=4/36
P(Summe=11)=2/36
falsch ist P(Summe=12)=2/36
Das sind aber insgesamt 42/36, also mehr als 1. Das kann schon mal nicht stimmen, denn da die einzelnen Ereignisse offenbar disjunkt sind, darf ich sie addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit heraus zu bekommen - und die muss 1 sein.
Fazit: Die doppelte Würfe kommen immer nur einmal vor, und damit ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf eine Summe von 6 zu werfen, gerade 5/36. Wie in der Lösung.