Wie kommt man auf die Formel s=½·a·t²?
Woher kommt die Formel
s=½at²?
3 Antworten
Hallo StephanCurry,
die Formel gilt (zunächst einmal) für den sehr speziellen Fall der geradlinig gleichförmigen Beschleunigung aus dem Stand, v(t₀)=0.
Es ist schlau, sich das in einem t-v-Diagramm zu veranschaulichen. Dort ist v(t) eine lineare Funktion, nämlich
v(t) = a·(t–t₀) =: a·Δt,
in der Graphik eine Gerade durch den Punkt (t₀, 0). Natürlich kann man normalerweise zur weiteren Vereinfachung t₀=0 setzen.
Was ist nun die Strecke?Nun, wenn wir zum Vergleich den Fall einer konstanten Geschwindigkeit v heranziehen, wo die in Δt zurückgelegte Strecke einfach
Δs = v·Δt
ist, sehen wir, dass das die Fläche zwischen der t-Achse und der v-Horizontalen sein muss. Genau das ist auch bei unserer gleichförmigen Beschleunigung der Fall, nur dass wir da ein Dreieck haben, also
Fläche = Grundseite×Höhe/2,
Δs = Δt·a·Δt/2 = ½a·Δt²,
wobei man mit t₀=0 auch t statt Δt schreiben kann.
Bei Beschleunigungen aus der Bewegung heraus setzt sich die Strecke wie ein Trapez aus dem Rechteck und dem Dreieck zusammen. Dabei können v und a sowohl positiv als auch negativ sein, weshalb man statt s besser x verwendet, weil s nur die Länge der insgesamt zurückgelegten Strecke bezeichnet, die auch positiv ist, wenn man sich im Kreis bewegt.
Mit positivem v(t₀) und negativem a kannst Du das auch auf Bremswege anwenden und feststellen, dass ein Bremsweg zum Quadrat des Anfangstempos proportional ist.
Hallo,
v=a*t wird nach t integriert.
Die Fläche unter dem Graphen, der die jeweilige Geschwindigkeit anzeigt, entspricht nämlich dem zurückgelegten Weg.
Herzliche Grüße,
Willy