Herleitung der Formel der Mantelfläche vom Kegel?
Wie kommt man beim Kegel bei der Mantelberechnung von der Formel: M= s quadratpiefie/360° + r quadrat pie auf die Formel: M=rpies+r quadratpie??
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Herleitung : dA=U * ds mit U=2*pie * r=2*pie * y hier ist y=f(x) eingesetzt
dA=2*pie * y *ds nun Satz des Phytagoras c^2=a^2 +b^2
ergibt (ds)^2= (dx)^2 +(dy)^2 dividiert durch (dx)^2
(ds)^2/(dx)^2= 1 + (dy)^2/(dx)^2 mit dy/dx=y´=f´(x)
(ds)^2/(dx9^2= 1 + y`^2 nun Wurzel ziehen
ds/dx= Wurzel (1 + y´^2) ergibt ds=Wurzel(1+y´^2) * dx eingesetzt in dA=....
dA=2 *pie * y * Wurzel(1 +y´^2) * dx nun integriert
A=2*pie * Integral y * (1+y´^2)^0,5 * dx
Wir haben nun die Formel aus dem Mathe-Formelbuch hergeleitet.
Zur Mantelberechnung des Rotationskörpers um die x-Achse braucht man nur noch dessen Funktion y=f(x) und die Integrationsgrenzen xu und xo
(untere Grenze u, obere Grenze)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Siehe Mathe-Formelbuch Anwendung "Integralrechnung"
Mantelfläche von Rotationskörpern um die x-Achse
A= 2*pie * S y *(1+y´^2)^0,5*dx hier ist y=f(x) eine Funktion von x
S ist das Integralzeichen y´=f´(x) erste Ableitung der Funktion f(x)
(.....)^0,5 Wurzel aus den Klammerausdruck.
Bei einen Kegel ist y=f(x) = m * x eine Gerade. Die Kegelspitze liegt im Ursprung des x-y-Koordinatensystems.
y= m *x abgeleitet y´= m eingesetzt
A=2 *pie * S m *x * (1 + m^2)^0,5 * dx = 2 *pie * m * (1+m^2)^0,5 S x *dx
HINWEIS Konstanten können vor das Integralzeichen S gezogen werden.
x=h ist die Laufvariable h des Kegels (Höhe des Kegels)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Geograph/1517656915530_nmmslarge__20_15_273_273_ab762bae498dd1eee0d201568d3291ed.jpg?v=1517656918000)
Wenn Du den Kegel vom Grundkreis zur Spitze aufschneidest, bekommst Du einen Kreisauschnitt (https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissektor). Dessen Radius ist ist gleich der Mantellinie s des Kegels. Die Länge L des Kreisbogens ist gleich dem Umfang der Grundfläche des Kegels.
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius s ist U = 2 * pi * s,
seine Fläche A = pi * s²
Die Fläche des Kreisauschnittes ist die Mantelfläche M des Kegels.
Es gilt:
Die Länge des Kreisbogens verhält sich zum Umfang des Kreises wie die Mantefläche des Kegels zur Fläche des Kreises:
L / U = M / A
Der Winkel des Kreisausschnittes φ verhält sich zu 360° wie die Kreisbogenlänge L zum Umfang U
φ / 360° = L / U = (2 * π * r) / (2 * π * s) = r / s
**********************************************************
Zu Deiner Frage:
M = s² * π * φ/360° + r² * π
wird mit φ / 360° = r / s
M = r * π * s + r² * π
Übrigens wird normalerweise mit M die Mantelfläche des Kegels,
und seine Gesamtoberfäche mit Ao (o als Index) bezeichnet.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/daCypher/1444744777_nmmslarge.jpg?v=1444744777000)
Tut mir Leid, die Formeln, die du da oben hingeschrieben hast, krieg ich nicht auseinandergereimt.
Die Mantelfläche von einem Kegel ist M=r*pi*s. Das, was du beim zweiten Teil dazugeschrieben hast (r²*pi) ist die Formel für die Grundfläche. Beides zusammen ist die gesamte Oberfläche des Kegels.