Wie kann ich die Eigenwerte effizienter berechnen?

Ich habe das Gefühl, dass ich die Eigenwerte viel zu umständlich berechne.
Habt ihr evtl. Tipps/Tricks?

Mein Vorgehen:
Nach der zweiten Zeile entwickeln (siehe Foto).
Daraus bekomme ich schon mal λ1=1.
Dann Nullstelle erraten für Polynomdivision. Gibt mir λ2=1.
Dann Polynomdivision.
Dann Mitternachtsformel. Gibt mir λ3=1, λ4=13

Answer 1

[mihisu]

Das mit dem Nullstellenraten und der Polynomdivision kannst du dir ersparen, indem du einfach erkennst, dass du noch (1- λ) ausklammern kannst. Des Weiteren hilft die dritte binomische Formel dabei, nicht ausmultiplizieren und Mitternachtsformel anwenden zu müssen.

$(1-\lambda)\cdot \left(\left(7-\lambda\right)^2\cdot \left(1-\lambda\right)-36\cdot \left(1-\lambda\right)\right)$

[(1 - λ) ausklammern und mit dem vorderen (1 - λ) zu (1 - λ)² zusammenfassen]

$=(1-\lambda)^2\cdot \left(\left(7-\lambda\right)^2-36\right)$

[Erkenne, dass 36 = 6² ist, um dann die dritte binomische Formel a² - b² = (a - b) ⋅ (a + b) mit a = 7 - λ und b = 6 verwenden zu können.]

$=(1-\lambda)^2\cdot \left(\left(7-\lambda\right)^2-6^2\right)$

$=(1-\lambda)^2\cdot \left(7-\lambda-6\right)\cdot \left(7-\lambda+6\right)$

$=(1-\lambda)^2\cdot \left(1-\lambda\right)\cdot \left(13-\lambda\right)$

$=(1-\lambda)^3\cdot \left(13-\lambda\right)$

Daran kann man nun relativ angenehm ablesen, dass 1 ein Eigenwert (mit algebraischer Vielfachheit 3) ist und 13 ein Eigenwert (mit algebraischer Vielfachheit 1) ist.

Answer 2

[indiachinacook]

Statt Polynomdivision kannst Du natürlich auch die kubische Gleichung direkt schlach­ten. Oder einfach weiterraten — wenn die Nullstellen ganzzahlig sind, dann müssen sie ja ein Teiler des konstanten Gliedes sein, weil das das Produkt aller Null­stellen ist.

Diese Methode zum Lösen von Eigenwerten ist nicht besonders effizient. Wenn man es mit dem Computer macht, verwendet man ganz andere Verfahren (z.B. Jacobi, ob­wohl es noch Besseres gibt). Allerdings spielen die ihre Vorteile erst bei größeren Ma­tri­zen aus und sind fürs händische Rechnen auch ziemlich beschwerlich.

Answer 3

[eterneladam]

Glaube der Trick liegt darin, nochmal nach der zweiten Zeile zu entwickeln in der Determinante statt mit Sarrus auszurechnen.

Ja, man kann den gleichen Trick auch zweimal anwenden :-)