Wie beweise ich |Wurzel x - Wurzel y| kleiner gleich |M mal |x - y|?
4 Antworten
x |—> W(x) ist differenzierbar auf (0,\infty) und stetig auf [0,\infty).
Laut des ZWS gibt es zu allen x, y € [0,\infty) verschieden ein z € (x,y) oder (y,x), also auf jeden Fall z!=0, so dass W(y)–W(x) = (y–x).W’(z) = (y–x)/2W(z). Darum |W(y)–W(x)| = |y–x|/2W(z).
Falls sich auf x, y € [a,\infty) beschränkt wird für ein a>0, so gilt z>a und damit 1/2W(z) < 1/2W(a) für das z oben. Mit dieser Einschränkung gilt also die Behauptung unter M:=1/(2W(a)). In der Tat ist dies der kleinste Wert von M.
Wenn man sich auf (0,\infty) beschränken will, so versagt die Behauptung.
Das Ganze oben kann man noch einfacher und sicherer beweisen durch die Beobachtung:
(y–x)=(W(y)^2 – W(x)^2)=(W(y)–W(x))(W(y)+W(x))
und
|W(y)+W(x)| >= 2W(a).
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Terme richtig interpretiert habe.
Ich nehme mal an x und y element R+.
|sqrt(x)-sqrt(y)| <=M*|x-y|
Fall 1:
x>y:
->
sqrt(x) >sqrt(y)
->
|sqrt(x)-sqrt(y)| > 0
->
sqrt(x)-sqrt(y) <=M*(x-y)
<=>
[sqrt(x)-sqrt(y)]/[(x-y)] <=M
x-y = [sqrt(x)-sqrt(y)]*[sqrt(x)+sqrt(y)] 3.e Binomische Formel.
->
[sqrt(x)-sqrt(y)]/[(x-y)] = [sqrt(x)-sqrt(y)]/[(sqrt(x)-sqrt(y))*(sqrt(x)-sqrt(y))]
=
1/[sqrt(x)+sqrt(y)] <= M
Wenn du jetzt M festlegst z.B 1, dann kannst du x und y nicht mehr beliebig wählen. Und zwar muss dann sqrt(x)+sqrt(y) >= 1 gelten. für z.B. x=0,25 und y = 0,16 gilt es nicht.
Sagst du dagegen z.B. x >=1 stimmt zumindest Fall1 für beliebige M element N und für alle y>=0.
Meinst du folgendes?
|√x - √y| ≤ m * |x - y|
Wenn m∈ℕ, dann gilt diese Aussage nicht für alle x, y∈ℝ₀⁺.
Sei m = 1, x = 0,25 und y = 0,0625:
|√x - √y| ≤ m * |x - y|
|√0,25 - √0,0625| ≤ |0,5 - 0,0625|
|0,5 - 0,25| ≤ |0,5 - 0,0625|
0,25 ≤ 0,1875
Widerspruch, somit ist die obige Aussage widerlegt. :)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
So etwas nennt sich Widerspruchsbeweis.
Ich setze Zahlen für m, x und y ein (die ich einsetzen darf) und wenn dadurch ein Widerspruch entsteht, ist die Behauptung widerlegt.
Die Zahlen sind beliebig, nur bei manchen Zahlen entsteht halt eine wahre Aussage und bei manchen eine falsche Aussage. Die Kunst besteht darin, die richtigen Zahlen zu finden, die zu einem Widerspruch führen. ^^
LG Willibergi
Und die Zahlen hast du einfach innerhalb von 5 Minuten gefunden? :)
Das ging sogar noch schneller. ^^
Meine Überlegung war, dass √x > x, wenn 0 < x < 1.
Und damit waren schnell zwei rationale Wurzeln gefunden, für die die Behauptung widerlegt werden konnte. :)
LG Willibergi
Die Wurzelfunktion ist nicht Lipschitz-stetig.
Kann ich einfach irgendwelche Zahlen einsetzen? Oder wie bist du auf genau die Zahlen für M und x und y gekommen?