Beweis von wurzel 6 und 12 irrational?
hi,
Ich verzweifle ein wenig gerade. Ich habe den Beweis endlich nachvollziehen können, dass wurzel 2 irrational ist. Aber wie beweise ich, dass wurzel 6 und 12 rational bzw irrational sind?
mfg
6 Antworten
Dass √(6) bzw. √(12) irrational sind, kann man relativ analog dazu zeigen, wie man auch zeigen kann, dass √(2) irrational ist.
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Wenn man bereits weiß, dass √(3) irrational ist, kann man das auch nutzen, um zu zeigen dass √(12) irrational ist, da √(12) = 2 ⋅ √(3) ist.
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Wenn man schon etwas Körpertheorie gehört hat, kann man auch den folgenden Beweis formulieren. Die Idee ist, dass man unter Verwendung des Eisensteinkriteriums nachweist, dass X² - 6 bzw. X² - 12 das Minimalpolynom von √(6) bzw. √(12) ist.
Hallo,
Du brauchst auf jeden Fall den Beweis, daß auch Wurzel (3) irrational ist.
Beweis durch Widerspruch:
Wurzel (3) sei rational. Dann ist sie als Bruch zweier natürlicher Zahlen (natürlich reicht, da Wurzel 3 positiv) m und n darstellbar:
Wurzel (3)=m/n, wobei der Bruch vollständig gekürzt wurde.
Quadrieren auf beiden Seiten ergibt
3=m²/n² oder 3n²=m²
Ist m² gerade, muß auch n² gerade sein, ansonsten wäre das Produkt 3n² ungerade.
Ist m² ungerade, muß auch n² ungerade sein (aus dem entsprechenden Grund).
Erster Fall: m² und n² sind gerade.
Dann müssen auch m und n gerade sein, denn nur das Quadrat einer geraden Zahl ergibt wiederum eine gerade Zahl.
Wenn Wurzel (3) aber eine rationale Zahl wäre und als vollständig gekürzter Bruch m/n darstellbar wäre, würde das der Annahme widersprechen, daß sowohl m als auch n gerade wären, denn dann könnte man den Bruch noch durch 2 teilen und er wäre eben nicht vollständig gekürzt.
m und n müssen also beide ungerade sein.
Dann läßt sich m² als (2a+1)² mit a Element N einschließlich 0 darstellen und n² als (2b+1)².
Es müßte also gelten: 3(2a+1)²=(2b+1)²
3*(4a²+4a+1)=4b²+4b+1
12a²+12a+3=4b²+4b+1
12a²+12a+2=4b²+4b
6a²+6a+1=2b²+2b=2*(b²+b)
6*(a²+a)+1=2*(b²+b)
Egal, was a²+a ergibt, 6*(a²+a) ist auf jeden Fall gerade.
Dann ist 6*(a²+a)+1 auf jeden Fall ungerade.
2*(b²+b) ist aber völlig unabhängig von b immer gerade.
Da eine Zahl nicht gleichzeitig ungerade und gerade sein kann, ergibt sich bei der Annahme, daß Wurzel (3) rational ist, ein Widerspruch.
Folglich kann die Wurzel aus 3 keine rationale Zahl sein.
Wenn Du nun weißt, daß sowohl die Wurzel aus 2 als auch die Wurzel aus 3 irrational sind und dies auch zweifelsfrei bewiesen ist, darfst Du beides als Tatsache benutzen beim Beweis, daß auch Wurzel (6) und Wurzel 12) irrational sind.
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst ja annehmen dass
mit a,b teilerfremd und ganzzahlig.
Es folgt: a ist gerade, also kannst du setzen a=2*n
daraus folgt:
3b²=2n²
Somit ist 3b² gerade und daher auch b gerade.
Nun haben wir a gerade und b gerade => Widerspruch
Wurzel(6) = Wurzel(3*2) = Wurzel(3)*Wurzel(2)
Wurzel(12) = Wurzel(2*6) = Wurzel(2)*Wurzel(6)
das ist kein Argument. Zwei irrationale Zahlen können als Produkt was rationales ergeben.
nur noch beweisen dass rational mal irrational sowie rational mal irrational
ne irrationale zahl ergibt :-)
Aber 1/wurzel(2) ist auch irrational, allerdings ist dann das Produkt der irrationalen Zahlen wurzel(2) und 1/wurzel(2) nicht mehr irrational.
Vielleicht durch die Kombi Pythagoras und vollständige Induktion. Wenn 2^0,5 irrational ist, dann auch 3^0,5 (gemäß Pythagoras) , 4^0,5 nicht, u.s.w.
Rechtwinkliges Dreieck. Eine Seite ist 1 lang, eine Seite ist 2^0,5 lang, dann ist dritte Seite 3^0,5 lang. Wenn 2^0,5 nicht mit endlich vielen Ziffern darstellbar ist, dann kann auch 3^0,5 nicht mit endlich vielen Ziffern darstellbar sein. u.s.w.
was hat das mit dem Pythagoras zu tun?