Beweis von wurzel 6 und 12 irrational?
hi,
Ich verzweifle ein wenig gerade. Ich habe den Beweis endlich nachvollziehen können, dass wurzel 2 irrational ist. Aber wie beweise ich, dass wurzel 6 und 12 rational bzw irrational sind?
mfg
6 Antworten
Du kannst ja annehmen dass
mit a,b teilerfremd und ganzzahlig.
Es folgt: a ist gerade, also kannst du setzen a=2*n
daraus folgt:
3b²=2n²
Somit ist 3b² gerade und daher auch b gerade.
Nun haben wir a gerade und b gerade => Widerspruch
Dass √(6) bzw. √(12) irrational sind, kann man relativ analog dazu zeigen, wie man auch zeigen kann, dass √(2) irrational ist.
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Wenn man bereits weiß, dass √(3) irrational ist, kann man das auch nutzen, um zu zeigen dass √(12) irrational ist, da √(12) = 2 ⋅ √(3) ist.
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Wenn man schon etwas Körpertheorie gehört hat, kann man auch den folgenden Beweis formulieren. Die Idee ist, dass man unter Verwendung des Eisensteinkriteriums nachweist, dass X² - 6 bzw. X² - 12 das Minimalpolynom von √(6) bzw. √(12) ist.
Hallo,
Du brauchst auf jeden Fall den Beweis, daß auch Wurzel (3) irrational ist.
Beweis durch Widerspruch:
Wurzel (3) sei rational. Dann ist sie als Bruch zweier natürlicher Zahlen (natürlich reicht, da Wurzel 3 positiv) m und n darstellbar:
Wurzel (3)=m/n, wobei der Bruch vollständig gekürzt wurde.
Quadrieren auf beiden Seiten ergibt
3=m²/n² oder 3n²=m²
Ist m² gerade, muß auch n² gerade sein, ansonsten wäre das Produkt 3n² ungerade.
Ist m² ungerade, muß auch n² ungerade sein (aus dem entsprechenden Grund).
Erster Fall: m² und n² sind gerade.
Dann müssen auch m und n gerade sein, denn nur das Quadrat einer geraden Zahl ergibt wiederum eine gerade Zahl.
Wenn Wurzel (3) aber eine rationale Zahl wäre und als vollständig gekürzter Bruch m/n darstellbar wäre, würde das der Annahme widersprechen, daß sowohl m als auch n gerade wären, denn dann könnte man den Bruch noch durch 2 teilen und er wäre eben nicht vollständig gekürzt.
m und n müssen also beide ungerade sein.
Dann läßt sich m² als (2a+1)² mit a Element N einschließlich 0 darstellen und n² als (2b+1)².
Es müßte also gelten: 3(2a+1)²=(2b+1)²
3*(4a²+4a+1)=4b²+4b+1
12a²+12a+3=4b²+4b+1
12a²+12a+2=4b²+4b
6a²+6a+1=2b²+2b=2*(b²+b)
6*(a²+a)+1=2*(b²+b)
Egal, was a²+a ergibt, 6*(a²+a) ist auf jeden Fall gerade.
Dann ist 6*(a²+a)+1 auf jeden Fall ungerade.
2*(b²+b) ist aber völlig unabhängig von b immer gerade.
Da eine Zahl nicht gleichzeitig ungerade und gerade sein kann, ergibt sich bei der Annahme, daß Wurzel (3) rational ist, ein Widerspruch.
Folglich kann die Wurzel aus 3 keine rationale Zahl sein.
Wenn Du nun weißt, daß sowohl die Wurzel aus 2 als auch die Wurzel aus 3 irrational sind und dies auch zweifelsfrei bewiesen ist, darfst Du beides als Tatsache benutzen beim Beweis, daß auch Wurzel (6) und Wurzel 12) irrational sind.
Herzliche Grüße,
Willy
Wurzel(6) = Wurzel(3*2) = Wurzel(3)*Wurzel(2)
Wurzel(12) = Wurzel(2*6) = Wurzel(2)*Wurzel(6)
nur noch beweisen dass rational mal irrational sowie rational mal irrational
ne irrationale zahl ergibt :-)
Aber 1/wurzel(2) ist auch irrational, allerdings ist dann das Produkt der irrationalen Zahlen wurzel(2) und 1/wurzel(2) nicht mehr irrational.
das ist kein Argument. Zwei irrationale Zahlen können als Produkt was rationales ergeben.
Vielleicht durch die Kombi Pythagoras und vollständige Induktion. Wenn 2^0,5 irrational ist, dann auch 3^0,5 (gemäß Pythagoras) , 4^0,5 nicht, u.s.w.
Rechtwinkliges Dreieck. Eine Seite ist 1 lang, eine Seite ist 2^0,5 lang, dann ist dritte Seite 3^0,5 lang. Wenn 2^0,5 nicht mit endlich vielen Ziffern darstellbar ist, dann kann auch 3^0,5 nicht mit endlich vielen Ziffern darstellbar sein. u.s.w.
was hat das mit dem Pythagoras zu tun?