Wie beweise ich das Wurzel 3 irrational ist?
Hallo,
in meiner Mathearbeit war eine Aufgabe, wo ich beweisen sollte dass Wurzel 3 irrational ist und ich da keine Punkte bekommen hab wollte ich fragen wie man das Beweist.
Danke im Voraus.
2 Antworten
Hallo,
man beweist das durch Widerspruch, indem angenommen wird, dass √3 doch eine rationale Zahl ist, also als vollständig gekürzter Bruch p/q geschrieben werden kann.
√3 = p/q |(...)²
3 = p²/q² |•q²
3q² = p² (*)
3 ist also ein Teiler von p² und damit auch von p.
p=3r
p²=9r²
(*) --> 3q²=9r²
q²=3r²
3 ist demnach auch ein Teiler von q² bzw. von q.
p/q kann demnach durch 3 gekürzt werden.
Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass p/q vollständig gekürzt ist.
🤓
Du hast vollkommen recht. Ich habe mich vertippt. Außerdem waren noch zwei Tippfehler in der Zeile "3 ist demnach ..."
Der Beweis ist ähnlich wie bei dem Beweis, dass die Wurzel von 2 irrational ist, da ist nur ein kleiner Unterschied.
Angenommen die Wurzel von 3 ist rational.
Dann gibt es ganze Zaglen a und b, die teilerfremd sind, sodass a/b = Wurzel 3 gilt.
Dann gilt auch a^2 = b^2 * 3.
Das heißt a^2 ist durch 3 Teilbar.
3 ist eine Primzahl, und für Primzahlen gilt, dass wenn die Primzahl ein Produkt teilt, dass dann die Primzahl mindestens einen Faktor teilen muss.
Da 3 a^2 teilt, muss also 3 auch a teilen.
Den Rest solltest du selbst hinbekommen, wenn du den Beweis mit Wurzel(2) nachliest.
Ich habe gerade versucht Deinen Beweis nachzuvollziehen und verstehe den Schritt, den Du mit * bezeichnet hast nicht. Beim 2. *
3q² = 9p² müsste da nicht stehen
3q² = 9r² ? Da du ja p² von der rechten Seite des 1. * zu ersetzen scheinst?