Wie beweise ich das Wurzel 3 irrational ist?
Hallo,
in meiner Mathearbeit war eine Aufgabe, wo ich beweisen sollte dass Wurzel 3 irrational ist und ich da keine Punkte bekommen hab wollte ich fragen wie man das Beweist.
Danke im Voraus.
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Der Beweis ist ähnlich wie bei dem Beweis, dass die Wurzel von 2 irrational ist, da ist nur ein kleiner Unterschied.
Angenommen die Wurzel von 3 ist rational.
Dann gibt es ganze Zaglen a und b, die teilerfremd sind, sodass a/b = Wurzel 3 gilt.
Dann gilt auch a^2 = b^2 * 3.
Das heißt a^2 ist durch 3 Teilbar.
3 ist eine Primzahl, und für Primzahlen gilt, dass wenn die Primzahl ein Produkt teilt, dass dann die Primzahl mindestens einen Faktor teilen muss.
Da 3 a^2 teilt, muss also 3 auch a teilen.
Den Rest solltest du selbst hinbekommen, wenn du den Beweis mit Wurzel(2) nachliest.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Lisaunicorn1237/1636187691225_nmmslarge__0_0_600_600_4fee819298c8c930db80f1e6a5281d67.png?v=1636187691000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/EdCent/1695234017606_nmmslarge__1443_134_1284_1284_c7f4e36b5c09a0ac13e315607e26a9d5.jpg?v=1695234018000)
Hallo,
man beweist das durch Widerspruch, indem angenommen wird, dass √3 doch eine rationale Zahl ist, also als vollständig gekürzter Bruch p/q geschrieben werden kann.
√3 = p/q |(...)²
3 = p²/q² |•q²
3q² = p² (*)
3 ist also ein Teiler von p² und damit auch von p.
p=3r
p²=9r²
(*) --> 3q²=9r²
q²=3r²
3 ist demnach auch ein Teiler von q² bzw. von q.
p/q kann demnach durch 3 gekürzt werden.
Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass p/q vollständig gekürzt ist.
🤓
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Kaenguruh/1695243606920_nmmslarge__319_29_660_660_d4f8b67765dac2c74e5be178c87bac75.jpg?v=1695243607000)
Ich habe gerade versucht Deinen Beweis nachzuvollziehen und verstehe den Schritt, den Du mit * bezeichnet hast nicht. Beim 2. *
3q² = 9p² müsste da nicht stehen
3q² = 9r² ? Da du ja p² von der rechten Seite des 1. * zu ersetzen scheinst?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/EdCent/1695234017606_nmmslarge__1443_134_1284_1284_c7f4e36b5c09a0ac13e315607e26a9d5.jpg?v=1695234018000)
Du hast vollkommen recht. Ich habe mich vertippt. Außerdem waren noch zwei Tippfehler in der Zeile "3 ist demnach ..."
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Lisaunicorn1237/1636187691225_nmmslarge__0_0_600_600_4fee819298c8c930db80f1e6a5281d67.png?v=1636187691000)
Kann man das auch mit einem direkten Beweis machen?