Wurzel 18 irrational Beweis?
Hallo.
Ich weiß wie man beweist, das die Wurzel aus 2 irrational ist. Leider verstehe ich nicht ganz wie man beweist, dass die Wurzel aus 18 irrational ist.
Danke im Vorraus
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Es gibt noch eine ganz andere Möglichkeit:
Sei r eine rationale Zahl.
Dann gibt es (genau) eine "Normaldarstellung" von r als
r = p / q
wobei q > 0 ist und p und q teilerfremd sind (und, falls r = 0 ist, q = 1 ist, nur für die Eindeutigkeit)
Dann ist auch r^2 rational mit
r^2 = p^2 / q^2
wobei p^2 und q^2 teilerfremd sind (wären sie es nicht, hätte ein gemeinsamer Teiler t von p^2 und q^2 mindestens einen Primzahlfaktor t_p; weil t_p prim ist und p^2 = p * p teilt, teilt t_p auch p oder p, also teilt t_p p; ebenso teilt t_p q; damit sind p und q nicht teilerfremd, im Widerspruch zur Normaldarstellung)
r^2 ist genau dann eine ganze Zahl, wenn q^2 = 1 ist; dies kann (wegen q ∈ ℤ und q > 0) nur dann sein und ist auch immer der Fall, wenn auch q = 1; und dies ist genau dann der Fall, wenn r eine ganze Zahl ist.
Also: r ∈ ℚ\ℤ => r^2 ∈ ℚ\ℤ
Folgerung:
Die Wurzel einer ganzen Zahl ist entweder ganz oder irrational.
Angewendet auf diesen Fall:
Da 18 keine Quadratzahl ist, ist √18 irrational.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
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Wenn du weißt, dass Wurzel(2) irrational ist, bist du fertig, denn Wurzel(18) = Wurzel(9*2) = Wurzel(9) * Wurzel(2) = 3 * Wurzel(2)
Und irgendwo in deinen Unterlagen müsste dann noch stehen, dass eine Ganze Zahl multipliziert mit einer Irrationalen irrational ist. Dann bist du fertig.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Suboptimierer/1443606504450_nmmslarge__0_0_160_160_7f828fad18ee7edb96b8daceedaeeadb.png?v=1443606506000)
Es ist schnell gezeigt (Danke), aber es muss gezeigt werden oder darauf verwiesen werden, dass es bereits gezeigt wurde.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/precursor/1520449106961_nmmslarge__0_41_160_160_95d9442864359506203c49d41e81923b.jpg?v=1520449107000)
Dazu musst du einfach nur beweisen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist, weil :
√(18) = 3 * √(2)
Und den Beweis, dass die Wurzel aus 2 irrational ist, findest du bei Google und auf Youtube mehr als nur genug.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Bei Wurzel 18 bleibst du ja bei Wurzel 2, denn 2 *9=18 und aus der 9 kannst du die Wurzel ziehen!
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Genau so.
Bzw: Wurzel(18) = Wurzel( 9 * 2) = Wurzel(9) * Wurzel(2) = 3 * Wurzel (2)
Nun, das ist ja schnell gezeigt:
wäre 3*Wurzel(2) rational, müsste zwansläufig auch Wurzel(2) rational sein, da aus
3 * Wurzel(2) = p/q {p und q € iN)
unmittelbar folgt
Wurzel(2) = p/(3q)
und somit auch rational wäre.