Vektorrechnung ( Orthonormalbasis )?

Beweisen Sie, dass die Vektoren

a = 1 / Wurzel 2 ( 1 1 )

b = 1 / Wurzel 2 ( -1 1 )

eine Orthonormalbasis ist ?

Comments

[davegarten]

ist denn 1/√2 ein Faktor, der vor dem eigentlichen Vektor steht, d.h. (1, 1) wären die Komponenten im ersten Vektor und (-1, 1) diejenigen im zweiten Vektor? Wie ist es gemeint?

[DavidWayne99]

Nein, die 1 / Wurzel 2 stehen jeweils vor den Vektoren.

Answer 1

[davegarten]

(Zur Notation: fett geschriebene Variablen sind Vektoren, hier aus R^2)

Basisvektoren müssen linear unabhängig sein. Demzufolge ist zu prüfen, ob die einzige mögliche Lösung des Gleichungssystems αa + βb = 0 darin besteht, wenn α = 0 und β = 0 sind:

α * 1/√2 - β * 1/√2 = 0
α * 1/√2 + β * 1/√2 = 0

Als Lösungen für α und β kommt je nur 0 in Frage. Damit ist die lineare Unabhängigkeit der Vektoren a und b gegeben. Weiter muss jeder Vektor im Raum eindeutig als Linearkombination aus den Basisvektoren dargestellt werden können, was offensichtlich der Fall ist.

Für den Nachweis der Orthogonalität kann man das Skalarprodukt (innere Produkt) aus a und b bilden. Bei Orthogonalität muss es null sein:

1/√2 * -1/√2 + 1/√2 * 1/√2 = -1/2 + 1/2 = 0. Somit sind sie orthogonal.

Zuletzt noch die Frage, ob die Vektoren a und b normiert (Betrag 1) sind:

Hierzu bildet man den Betrag der Vektoren:

|a| = |1/√2, -1/√2| = √((1/√2)^2+(-1√2)^2) = 1
|b| = |1/√2, 1/√2| = √((1/√2)^2+(1√2)^2) = 1

Somit ist auch diese Bedingung erfüllt.

Damit bilden die Vektoren a und b eine Orthonormalbasis.

Answer 2

[MagicalGrill]

Wo ist das Problem? Zeig halt

1. Die Vektoren bilden eine Basis
2. Die Vektoren stehen orthogonal zueinander
3. Die Vektoren haben jeweils die Länge 1