Welche Potenz für Grenzwert einer Zahlenfolge?
Hallo zusammen,
ich bin gerade bei den Zahlenfolgen und deren Grenzwerte. Ich kann es ausrechnen, doch ich weiß nicht welche Potenz ich nehmen muss. Muss ich einfach immer die höhste Potenz im Beispiel nehmen oder nur die höhste Potenz im Nenner oder die höchste Potenz im Zähler.
Ich habe das zuerst so Verstanden, das ich immer die höchste Potenz aus dem Nenner nehmen. Doch das stimmt leider nicht.
Das verwirrt mich extrem.
Bitte euch mir das kurz zu erklären, vielen Dank.
4 Antworten
das Beispiel hast du leider doch nicht genannt.
Eine Funktion, die aus Zahlenfolgen besteht hat immer zwei Grenzwerte. Einen unteren und einen oberen Wert.
Deine Frage, so ich sie richtig verstanden habe, besteht aus Ausdrücken mit unterschiedlichen Potenzen.
Welcher Ausdruck mit welcher Potenz für eine Grenzwertbetrachtung den größten Anteil liefert, so dass andere Ausdrücke vernachlässigbar sind, kann nicht generell beantwortet werden. Es ist ein Unterschied, ob x^0 oder x^1 oder x² oder x³ ... mehr zu beachten ist als 1/x^0 oder 1/x^1 oder 1/x² .... hängt doch vom Wert für x ab.
Mit x < 1 wird der Wert für ... x² , x³ ... immer kleiner ,während er für x> 1 immer größer wird.
Für die Potenzen im Nenner 1/x^n ist es genau umgekehrt.
Hier ein Beispiel
Ich habe als erstes mal n^5 durch die anderen Zahlen dividiert und da kommt: n^2 raus. Das ist falsch. Dann habe ich die anderen Zahlen durch n^3 dividiert und das Ergbnis war: 1/n^2 und das ist dann 0. Somit richtig. Aber wie weiß ich, durch was ich dividieren muss? Hier wäre ja die höhste Potenz n^5, aber das ist ja falsch?
Du brauchst die Potenzen mit den größten Exponenten UND deren Koeffizienten aus Zähler und Nenner. Die kleineren Exponenten dahinter spielen im Unendlichen keine Rolle.
Die Potenzen kannst Du dann "zusammenfassen". Dann sieht man, ob die Zahlenfolge/Funktion:
1. gegen Null (wenn Nennerexponent größer als Zählerexponent ist),
2. gegen den Bruch der Koeffizenten (wenn Nenner- gleich Zählerexponent) oder
3. gegen plus-/minus-Unendlich (wenn Zähler- größer als Nennergrad ist, dann hängt es davon ab, ob der "Restexponent" gerade oder ungerade ist) läuft.
"Mathematisch" würde man jeweils die höchsten Potenzen ausklammern, kürzen und dann x gegen +/- - unendlich laufen lassen.
- Wenn die höchste Potenz im Zähler steht, gibt es keine Grenzwert.
- Wenn die höchsten Potenzen jeweils im Zähler und Nenner gleich sind, ist der Grenzwert gleich den Koeffizienten - Beispiel: lim[(x⁵+x²+1)/(2x⁵-1)] = 1/2
- Wenn die Höchste Potenz im Nenner ist, beträgt der Grenzwert 0
lim[(x⁵+x²+1)/(2x⁵-1)] → Bruch mit dem Kehrwert der höchsten Potenz (hier also 1/x⁵) erweitern → Zähler und Nenner ausmultiplizieren (ergibt Doppelbruch; ich verwende daher zwecks besserer Lesbarkeit hier negative Exponenten): lim[(1+x⁻³+x⁻⁵)/(2-x⁻⁵) = (1+0+0)/(1-0) = 1/2
Ja, aber mit welcher Potenz muss ich dann für deine genannten Fälle rechnen. Das verstehe ich nicht.