Grenzwert einer Folge mit Fakultät und n-Potenz

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Behauptung. 2^(2n)·n! : n^n —> etwas ≠ 0 (ich denke! dass muss ich noch beweisen)

Falls das gilt, dann…

Folgerung.

  • {3n^4+n^n} : {5^n+ (4^n*n!)}
    • = (1+3:n^(n–4)) : (2^(2n)·n! : n^n + ((n:5)^(n:5))^(-5))
    • —> (1+0) : (etwas + 0) = 1:etwas (von oben)

kreisfoermig  14.02.2014, 08:09

Die Behauptung war nicht ganz richtig.

Behauptung´. (4^n)·n!:n^n —> +∞

(Siehe unten für den Beweis.)

Folgerung.

  • {3n^4+n^n} : {5^n+ (4^n*n!)}
  • = {1+3:n^(n–4)} : {4^n·n! : n^n + 1:((n:5)^n)}
    • Zähler —> 1+0
    • Nenner —> +∞ + 0 = +∞
  • Daher: a[n] —> 0 (weil „1:∞“)

Beweis der neuen Behauptung.

  • n! = ∏[k=1 bis n] aus k
    • = ∏[k=1 bis n] aus exp(log(k))
    • = exp(∑[k=2 bis n] aus log(k))
  • ∑[k=2 bis n] aus log(k)
    • = ∑[k=2 bis n] aus log(k)·1
    • = ∑[k=2 bis n] aus ∫[x=k-1 bis k] aus log(k) dx
    • > ∑[k=2 bis n] aus ∫[x=k-1 bis k] aus log(x) dx
    • = ∫[x=1 bis n] aus log(x) dx
    • = [xlog(x)-x] x = 1 … n
    • = [nlog(n)-n]-[0-1]
    • = nlog(n)-(n-1)
  • Also n! > exp(nlog(n)-(n-1))
    • = (n^n):exp(n-1)
  • Also (4^n)·n!:n^n > 4^n:exp(n-1) = e·(4:e)^n
  • Taylor: e = exp(1) = 1:0!+1:1!+1:2!+ (1:3!)·exp(ξ), für ein ξ∈]0;1[
    • Daher, exp(ξ) < exp(1)=e
    • also, e < 2,5 + e:6
    • also, 6e < 15 + e ==> e < 15/5 = 3
  • Also (4^n)·n!:n^n > e·(4:e)^n ≥ e·(4:3)^n —> +∞
  • Daher (4^n)·n!:n^n —> +∞

W.z.z.w.

Hallo !

Meinst du jetzt -->

(3 * n ^ 4 + n ^ n ) / ( 5 ^ n + (4 ^ n * n !))

oder meinst du -->

(3 * n ^ 4 + n ^ n ) / ( 5 ^ n / (4 ^ n * n !))

Diese komische Aneinanderreihung +/ bei dir oben irritiert !!!, was soll das denn sein ?

Welcher der beiden Ausdrücke ist es denn nun ???