Grenzwert einer Folge mit Fakultät und n-Potenz
Hey :)
Muss den Grenzwert folgender Folge bestimmen.
a_n := {3n^4+n^n}/{5^n+/(4^n*n!)}
Mein erster Ansatz ist es die Folge nach oben abzuschätzen dadurch, dass ich das 5^n im Nenner weglasse, sodass ich dann auf {3n^4+n^n}/{4^n n!} komme.
Aber wie kann ich dann weitermachen?
3 Antworten
Behauptung. 2^(2n)·n! : n^n —> etwas ≠ 0 (ich denke! dass muss ich noch beweisen)
Falls das gilt, dann…
Folgerung.
- {3n^4+n^n} : {5^n+ (4^n*n!)}
- = (1+3:n^(n–4)) : (2^(2n)·n! : n^n + ((n:5)^(n:5))^(-5))
- —> (1+0) : (etwas + 0) = 1:etwas (von oben)
Die Behauptung war nicht ganz richtig.
Behauptung´. (4^n)·n!:n^n —> +∞
(Siehe unten für den Beweis.)
Folgerung.
- {3n^4+n^n} : {5^n+ (4^n*n!)}
- = {1+3:n^(n–4)} : {4^n·n! : n^n + 1:((n:5)^n)}
- Zähler —> 1+0
- Nenner —> +∞ + 0 = +∞
- Daher: a[n] —> 0 (weil „1:∞“)
Beweis der neuen Behauptung.
- n! = ∏[k=1 bis n] aus k
- = ∏[k=1 bis n] aus exp(log(k))
- = exp(∑[k=2 bis n] aus log(k))
- ∑[k=2 bis n] aus log(k)
- = ∑[k=2 bis n] aus log(k)·1
- = ∑[k=2 bis n] aus ∫[x=k-1 bis k] aus log(k) dx
- > ∑[k=2 bis n] aus ∫[x=k-1 bis k] aus log(x) dx
- = ∫[x=1 bis n] aus log(x) dx
- = [xlog(x)-x] x = 1 … n
- = [nlog(n)-n]-[0-1]
- = nlog(n)-(n-1)
- Also n! > exp(nlog(n)-(n-1))
- = (n^n):exp(n-1)
- Also (4^n)·n!:n^n > 4^n:exp(n-1) = e·(4:e)^n
- Taylor: e = exp(1) = 1:0!+1:1!+1:2!+ (1:3!)·exp(ξ), für ein ξ∈]0;1[
- Daher, exp(ξ) < exp(1)=e
- also, e < 2,5 + e:6
- also, 6e < 15 + e ==> e < 15/5 = 3
- Also (4^n)·n!:n^n > e·(4:e)^n ≥ e·(4:3)^n —> +∞
- Daher (4^n)·n!:n^n —> +∞
W.z.z.w.
Hallo !
Meinst du jetzt -->
(3 * n ^ 4 + n ^ n ) / ( 5 ^ n + (4 ^ n * n !))
oder meinst du -->
(3 * n ^ 4 + n ^ n ) / ( 5 ^ n / (4 ^ n * n !))
Diese komische Aneinanderreihung +/ bei dir oben irritiert !!!, was soll das denn sein ?
Welcher der beiden Ausdrücke ist es denn nun ???
hat jemand einen ansatz?