n als Exponent im Zähler und im Nenner (Zahlenfolgen; Grenzwerte)?
Ich stehe vollkommen auf dem Schlauch.
Aufgabe: Finde den Grenwzert für die Folge an (nein das ist kein Schreibfehler, ich weiß bloß nicht wie man das n nach unten rückt).
an=(2^n-5^n)/(2^(n+1)+5^(n+1))
Ich hab schon viele Varianten versucht...L'Hospital bringt nix, mit dem negierten Nenner erweitern ebenfalls und die Potenzgesetze hab ich auch schon alle durchprobiert. Wahrscheinlich übersehe ich irgendetwas und bitte daher um Hilfestellung.
3 Antworten
Du koenntest Deinen Bruch als ((2/5)^n - 1) / (5(2/5)^(n+1) - 5) schreiben, d.h. mit 5^n kuerzen. In dieser Form solltest Du den Grenzwert leicht ablesen koennen.
Das Problem besteht darin, dass sowohl Zaehler als auch Nenner unendlich gross werden. Intuitiv wuerde ich vermuten, dass fuer grosses n die 5er-Potenzen "wichtiger" sind als die 2er-Potenzen. Es liegt die Vermutung nahe, dass sich der Bruch also so verhalten koennte wie -5^n / 5^(n+1), was ja -1/5 ist (sorry, habe oben versehentlich ein "-" im Nenner geschrieben, aber da muss natuerlich ein "+" stehen).
Ich denke mir nun, dass 5^n die "wichtige" Unendlichkeit darstellt. Ich "entferne" sie aus Zaehler und Nenner, indem ich ausklammere:
(2^n-5^n)/(2^(n+1)+5^(n+1)) = [5^n (2^n / 5^n - 1)] / [5^n (2^(n+1) / 5^n + 5)]
Nun kann man die "problematische" Unendlichkeit 5^n herauskuerzen. Fuer das, was noch uebrig bleibt, verwendet man die Potenzgesetze: 2^n / 5^n = (2/5)^n, 2^(n+1) / 5^n = 5 * 2^(n+1) / 5^(n+1) = 5 * (2/5)^(n+1). Damit kommst Du auf die Form, die ich oben angegeben habe. Im Limes fuer grosse n tragen die Potenzen von 2/5 nicht mehr bei, da ja 2/5 < 1. Dies bestaetigt nochmals die Intuition von oben, dass die 5 den entscheidenden Beitrag liefert. Haette man mit 2^n gekuerzt, waere man nicht zum Ziel gekommen.
Man kann immer mit allem kürzen außer 0, warum also nicht 5^n?
Es steckt schon eine seltsame Faszination dahinter, scheinbar unmotivierte, aber prinzipiell natuerlich nicht verbotene Rechenschritte durchzufuehren, die dann wie durch Zauberhand ein Problem loesen :) Leider muss man dann aber oft zugeben, dass doch eine Intuition dahinter gesteckt hat :D
Bei solchen Problemen hilft es immer, den Bruch mit dem dominierenden Term im Nenner zu kürzen. Denn dann werden alle Terme im Nenner, die zuvor "unendlich" gross und schwer handzuhaben waren, gegen 0 oder zumindest eine Konstante streben. Nun hat man keine (unendlich)/(unendlich), sondern eine (irgendetwas)/Konstante Situation. Noch direkter geht es, wenn man mit 5^(n+1) kürzt.
oben - unten +
Sieht für mich nach binomischer Formel aus...
Ja, mit dem vielleicht liegst du richtig....mit dieser Variante kommt man nicht auf die Lösung
Der Grenzwert ist - 1/5:
2^n/Nenner < 2^n/5^(n+1) = 1/5 * (2/5)^n -> 0,
1/5 - 5^n/Nenner (immer positiv!) = (Nenner - 5*5^n) / 5*Nenner = [2^(n+1)+5^(n+1) - 5^(n+1)] / [5*2^(n+1) + 5*5^(n+1)] = 2^(n+1) / [5*2^(n+1) + 5*5^(n+1)] < 2^(n+1) / 5*5^(n+1) = (1/5) * (2/5)^(n+1) -> 0.
Also zusammen 0 - 1/5 = -1/5. Darauf kommt man, indem man sieht, dass die 2^(n+1) im Nenner mit wachsendem n immer unbedeutender gegenüber 5^(n+1) werden, sodass man sie mal testweise weglassen kann und also bekommt (2^n-5^n) / 5^(n+1)
Ich sehe, die Lösung ist richtig, aber könntest du vielleicht nochmal ein paar Zwischenschritte zeigen, da ich nicht verstehe wie man auf die Idee kommen soll mit 5^n zu kürzen.