Wie bestimme ich, ob dieser Bruch konvergiert und wenn er konvergiert, was der Grenzwert ist?
ich habe mir gedacht, im Zähler haben wir stehen
Das ist das gleiche wie:
Das ist gegen unendlich wie 0, also haben wir oben im Zähler stehen (4-0)^n und im Nenner haben wir 5^n +n ^-2
ist das gleiche wie
Und das ist ja auch einfach 0 oder?
Also habe ich am Ende stehen:
Und das konvergiert ja gegen 0 oder? Wäre das so schon nachgewiesen, oder muss ich noch irgendwie zeigen, dass das 0 ist?
5 Antworten
Das würde ich so nicht machen, denn einfach 1/n gegen 0 während der Klammerausdruck gegen unendlich läuft, ne, das ist unzulässig!
Das wäre jetzt mein Ansatz, aber nicht wirklich durchdringend. Ich denke, es geht eher darum, hier die e-Definition einzubauen.
Sorry, das war gerade völliger Mist. Das mit Zähler kleiner 4 hoch n ist die Lösung, was ich schrieb, passt gar nicht.
1/n ist gegen unendlich wie 0, also haben wir oben im Zähler stehen (4-0)^n
Das funktioniert so nicht, du kannst nicht n an einer Stelle gegen oo schicken und an anderer Stelle fix lassen. Siehe zum Beispiel
https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition
Da sollte also noch ein Faktor e^-4 auftauchen, der aber zugegebenermaßen nichts daran ändert, dass die Folge gegen 0 konvergiert.
Im Zähler steht nach Anwendung des Binomischen Lehrsatzes n^(-n), nicht 1^(-n). Ansonsten kannst du die Argumentation tatsächlich so laufen lassen.
Die einen meinen das geht nicht, die anderen schon, was genau ist jetzt erlaubt ?
Der Zähler geht eben nicht gegen unendlich, sondern gegen eine feste Zahl, nämlich "irgend etwas mit e" (ich bin zu faul das auszurechnen :-)). Da der Nenner aber gegen unendlich konvergiert bleibt die Argumentation bestehen. Tatsächlich darfst du aber den binomischen Lehrsatz nicht anwenden (wie von mir beschrieben), da du ja dann eine unendliche und konvergente Reihe im Zähler stehen hast.
Nein. Denn wie bereits gesagt, die unendliche Reihe die im Zähler steht geht eben NICHT gegen 0. Bei einer unendlichen Reihe ist sogar die Aussage, dass die Summanden eine Nullfolge bilden ein notwendiges (aber nicht hinreichendes) Kriterium für die Konvergenz. Es gibt sogar unendliche Reihen, deren Glieder eine Nullfolge bilden und die dennoch gegen unendlich divergieren, so zum Beispiel die harmonische Reihe.
Daher mußt du in diesem speziellen Fall eben zeigen, dass der Ausdruck im Zähler nicht gegen unendlich divergiert, sondern konvergent ist.
Das kann man einfach nach oben abschätzen,
den Zähler <= 4^n
den Nenner >= 5^n,
der Bruch damit <= (4/5)^n, was gegen Null geht.
warum <=, buw >= und <= wieder? Also im Zähler schätze ich 1/n weg, dass ist ja 0, warum sagenw ir dann, dass 4^n kleiner gleich 1/n ist? Ich habe ja 0 weggeschätzt, dementsprechend muss ja zähler= 4^n sein oder? Gleiches beim Nenner?
Da 4-1/n <= 4 ist (da n>0) ist somit (4-1/n)^n<=4^n
Im Nenner ist n^-2 >0 weswegen 5^n+n^-2 >= 5^n gilt.
STIMMT! Nur aus Interesse, wie könnte ich eigentlich das n bestimmen? Weil ein Kommilitone meinte zu mir, dass man bei sowas am Ende auch das n bestimmen müsste, stimmt das?
Also wenn du mit "n bestimmen" das N vom Epsilon Kriterium der Konvergenz meinst, dann muss es nicht unbedingt sein.
Wenn ihr nämlich schon gezeigt habt, dass die Folge a^n für |a|<1 immer konvergiert, bist du nämlich schon fertig, da die Folgenglieder zwischen 0 und (4/5)^n liegen. Nach dem einschließungssatz muss dann die Folge gegen 0 gehen.
Danke, aber an sich hätte ich nur noch 1 Frage, warum darf man überhaupt solch eine Abschätzung vornehmen? Also dass man den Bruch zu (4/5)^n abschätzt? Ich hab das jetzt einfach gemacht, weil ich mir dachte die beiden anderen Werte sind eh 0, wenn ich es gegen unendlich laufen lasse, also kann ich die auch weglassen. Aber wäre so eine Ungleichung auch erlaubt gewesen, wenn ich etwas kleineres hätte? Z. B. (4/5)^n ist ja größer als mein Bruch, wenn ich nun etwas genommen hätte, was kleiner wäre, wäre das auch eine passende Ungleichung gewesen? Also hier durfte man ja abschätzen, aber nur nach oben, warum? Also dürfte ich nicht z. B. nach unten abschätzen?
Du musst die Folge sowohl von oben UND von unten abschätzen, da du dann den Einschließungssatz verwenden kannst.
0 ist dabei eine gute untere Schranke, da man da sofort sieht dass es kleiner ist (und man eine Obere Schranke erhält, die gegen 0 geht)
Was genau heißt das? Ich habe ja abgeschätzt, aber wo habe ich gegen 0 abgeschätzt, also was ist damit gemeint? das ich 1/n und 1/n^2 auf 0 abgeschätzt habe?
Du weißt dass die Folgenglieder zum einen größer als 0 sind und zum anderen kleiner als (4/5)^n sind.
Beide Schranken gehen gegen 0, weswegen die Folge gegen 0 gehen muss.
das ich 1/n und 1/n^2 auf 0 abgeschätzt habe?
Nein.
Er konvergiert gegen 0.
Es interessieren da nur die größten Potenzen und die sind 4^n und 5^n, das man dann auch (4/5)^n schreiben darf. Und eine Zahl größer Null und kleiner 1 hoch unendlich konvergiert gegen Null.
Nein, du kannst nicht die 1/5^n vor den Limes holen, die muss im Limes bleiben, damit aus 4^n/5^n (4/5)^n wird.
Was genau heißt es, dass es im Limes drinnen bleiben muss?
Du hast im vorletzten oder letzten Schritt die 1/5^n vor den Limes geschrieben. Das würde ich nicht machen.
Ich meine was heißt vor den Limes geschireben? ich habe ja am Ende einfach (4^n/5^n) und das lässt man gegen unendlich laufne oder nicht?
Hallo sorry, sehe gerade du hast ja lim * lim geschrieben. Das ist in Ordnung so.
Hi, aber wo habe ich lim*lim geschrieben, ich habe doch nirgendwo limes stehen oder?
Du hast in der letzten Zeile aufgelöst: lim ... * lim ...
Deine Argumentation ist (genau wie meine in meiner ursprünglichen Antwort) falsch. DA im Zähler eine unendliche Reihe steht interessieren eben NICHT nur die höchsten Potenzen.
Der Zähler konvergiert gegen eine feste Zahl, der Nenner gegen unendlich. Damit bleibt es bei der Konvergenz gegen 0.