Was ist das Integral von 3*cos(2x)-2*sin(3x)?

Hallo! Ich weiß, dass die richtige Lösung statt *2 und *3, :2 und :3 sein sollte. Ich verstehe aber nicht wieso meine Rechnung nicht stimmt. Ich dachte ich muss die Kettenregel anwenden.

Answer 1

[evtldocha]

Ich verstehe aber nicht wieso meine Rechnung nicht stimmt.

... weil in Deiner Rechnung F'(x) nicht gleich f(x) ist.

Ich dachte ich muss die Kettenregel anwenden.

Nein, es gibt keine Kettenregel beim Integrieren. Du musst die Anwendung der Kettenregel quasi "umkehren".

Und wenn Du die bei der Ableitung verwendete Kettenregel umkehren willst, dann hilft Dir beim Integrieren (in einfachen Fällen) das Substitutionsverfahren. Beispiel sei der erste Term 3 · cos(2x).

Substitution: $u\left(x\right)=2x\ \to\frac{du}{dx}=2\ \to dx\ =\ \frac{1}{2}du$

Damit (ohne Grenzen und ohne + C) $\int3\cos\left(2x\right)\ dx\ =\ 3\ \int\cos\left(u\right)\frac{1}{2}du\ =\ \frac{3}{2}\int\cos\left(u\right)\ du\ =\ \frac{3}{2}\sin\left(u\right)\ =\$ $\frac{3}{2}\sin\left(2x\right)$

Jetzt kannst Du mit der Kettenregel die Probe machen:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}\sin\left(2x\right)\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{d}{dx}\sin\left(2x\right)=\frac{3}{2}\cdot\cos\left(2x\right)\cdot2\ =\ 3\cdot\cos\left(2x\right)$

Answer 2

[FataMorgana2010]

Beim ABLEITEN musst du mit 3 malnehmen, weil du ja mit der inneren Ableitung malnehmen musst. Beim Integrieren (nennt man ja auch Aufleiten) willst du ja genau das RÜCKGÄNGIG machen, also daher durch 3 teilen. Die Kettenregel musst du hier zwar im Kopf haben, aber sie ist ja eigentlich eine Regel zum Ableiten.

Du kannst das ja einfach überprüfen: Leite mal dein Ergebnis ab. Dann kommt ja wieder der Faktor 3 bzw. 2 dazu, aber der soll ja gerade wegfallen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Answer 3

[Halbrecht]

die 2 hinten kommt nicht also Faktor hin , sondern als "durch 2)

-3/2 * sin(2x)

leite das mal ab