Sinus- und Cosinusgleichung?
Wie kann ich die Gleichung sin(x) + cos(x) = 1/(Wurzel 2) lösen, so dass ich alle reellen Lösungen angeben kann?
Hab leider noch keine Idee ...
1 Antwort
Wenn sin(x) + cos(x) = 1/Sqrt(2),
dann (sin(x) + cos(x))^2 = sin^2(x) + 2 sin(x) cos(x) + cos^2(x)
= sin^2(x) + cos^2(x) + 2 sin(x) cos(x) = 1 + sin(2x) = 1/2,
also sin(2x) = -1/2, somit
2x = 7/6 pi + 2pi*n oder 2x = 11/6 pi + 2n*pi
x = 7/12 pi + n*pi oder x = 11/12 pi + n*pi
Jetzt musst Du noch überprüfen, ob durch das Quadrieren auch Lösungen der Gleichung
sin(x) + cos(x) = -1/Sqrt(2)
dazugekommen sind und diese ausschliessen…
Indem Du sie in die Ursprungsgleichung einsetzt und überprüfst, was rauskommt…
Wenn ich die einsetzen ist von den 2 Gleichungen je jede zweite zu viel. Aber kann man das irgendwie allgemein angeben?
Schreib Dir die korrekten Lösungen für die ersten Vielfachen n*pi auf, dann siehst Du, welche wegfallen; ich hab die Lösungen nicht im Kopf und auch keine Lust, das jetzt nachzurechnen… :-)
Ah okay danke. Ja da sind welche dazugekommen. Und wie schließe ich die aus?