Warum ist Sinus(30°) = 0.5?

Wie kann ich anhand des folgenden Dreiecks beweisen dass: Sin(30)=0,5 und dass Sin (60)=1/2*wurzel3

Answer 1

[Uwe65527]

Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. In dem blauen Dreieck hast Du einmal 30° und einmal 90°. Damit ist der Winkel rechts unten 60°. Jetzt ergänzt Du das Dreieck durchseine Spiegelung (gestrichelter Teil) zu einem neuen Dreieck. DerWinkel links unten ist wegen der Siegelung genausogroß wie der Winkel rechts unten, alsoauch 60°. Der Winkel oben verdoppelt sich: 2*30°=60°. Damit sind in dem ergänzten Dreieck alle Winkel gleich groß. Deshalb sind auch alle Seiten gleichlang. Damit hat die dem 30°-Winkel gegenüberliegende Strecke die halbe Länge einer halben Dreiecksseite Der Sinus ist als Gegenkathete/Hyppothenuse definiert. Damit muss sin(30°) = 0,5 sein. Damit ist sin(30°)=0,5 bewiesen, Die Höhe in dem blauen Dreieck ist die Gegenkathete zu dem 60°-Winkel rechts unten. Ihre Länge entspricht dem sin(60°). Diese Länge berechnest Du über den Satz des Pythagoras:

$\sin\ \left(60°\right)=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ womit auch die zweite Aussage bewiesen wäre.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.

Answer 2

[Halbrecht]

Man muss sehen (glauben) , dass das Dreieck ein gleichseitiges ist .

.

Es gibt keine Seitenlänge s, aber man erkennt die kleine Seite unten als s/2 

.

.

sin(30) = (s/2) / s = s/2s = 1/2 

Höhe = (s²) - (s/2)² 

H = (3/4 * s²)^(1/2) = s/2 * wurzel(3)

sin(60) = s/2 * wurzel(3)/ s = 

s kürzt sich weg

sin(60) = 1/2 * w(3)

Answer 3

[indiachinacook]

Das ist ein gleichseitiges Dreieck OBDA mit Seitenlänge 1 — außerdem ist die Höhe eingezeichnet, die die Seite, auf die sie normal steht. Das blaue Dreieck ist also recht­winkelig.

• Die untere Kathete (Gegenkathete zum 30°-Winkel, und daher sin(30°)) hat die Länge ½
• Die an­dere Kathete (Ankathete zum 30°-Winkel und daher cos(30°) und außerdem Höhe im gleichseitigen Drei­eck) hat nach Πυθαγόρας die Länge √(1²−½²) = ½√3.

Answer 4

[evtldocha]

Das gezeichnete Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck (alle Winkel sind 60°) und die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite genau in der Mitte. Nun sei die Seitenlänge "s", dann:

$\sin\left(30\right)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\ =\frac{\frac{1}{2}s}{s}=\frac{1}{2}$

Answer 5

[Suboptimierer]

sin(30) = Gegenkath./Ankath.

Das gesamte Dreieck mit gestrichelter Linie ist gleichseitig, also ist die Gegenkathete halb so lang wie die Hypotenuse. , also ist sin(30) = 1/2.

sin(60):

Gegenkathete ist h.
h²+(a/2)² = a²
h² = 3/4 a²
h = Wurzel(3)/2 a
h/a = Wurzel(3)/2