Trigonometrische Gleichungen Lösen - Vorgehensweise?
Hi,
Ich habe wirklich schon alle möglichen Webseiten besucht, ChatGPT gefragt, war bei Math AI und habe zahlreiche YouTube-Videos angesehen und muss nun wohl endgültig zu dem Ergebnis kommen, dass ich wirklich zu dumm bin, die Herangehensweise vollständig zu verstehen.
Es geht beispielsweise um die folgende Aufgabe:
sin(2x) = -0,5 (Berechnung im Intervall (I = 0;2pi))
Meine Vorgehensweise war nun die folgende:
Periodenlänge bestimmen:
2pi/b = 2pi/2 = pi
sin(2x) = -0,5 I Substitution
mit: 2x = u
sin(u) = -0,5 IWTR
u = -pi/6 I Resubstitution
mit: u = 2x
-pi/6 = 2x I*0,5
-pi/12 = x
Zunächst habe ich aufgegriffen, dass dieses Ergebnis sich nicht innerhalb von I befindet.
Ab da wusste ich nicht mehr genau weiter. Ich habe in einem YouTube-Video gehört, die erste Lösung erhält man dann über die Berechnung mit (halber Periodenlänge - x):
Halbe Periodenlänge hier: pi/2
somit x1= pi/2 - (-pi/12) = pi/2 + pi/12 = 7pi/12
Damit hätten wir x1 und soweit ich weiß, berechnet man weitere Lösungen dann allgemein mit:
x= 7pi/12 * k*pi (k Element Z)
aber es gibt ja dann immer noch eine zweite Lösung, mit der man dann eine weitere allgemeine Gleichung für die weiteren Lösungen aufstellen kann. Wie berechne ich diese nun ?
Laut Lösung (OHNE Lösungsweg, das ist eben mein großes Problem) müsste nämlich die nächste Lösung (nach 7pi/12) 11pi/12 sein und durch Ausprobieren am Taschenrechner bin ich auf 3pi/2 - 7pi/12 = 11pi/12 gekommen, aber ich verstehe nicht, wie sich dies ergibt, bzw. was eben der Ansatz für diesen Schritt ist.
Kann jemand hier meinen Fehler erkennen, bzw. auffinden, woran mein Verständnis hängen bleibt?
LG und Herzlichen Dank im Voraus.
2 Antworten
Periodizität und Symmetrie berücksichtigen:
sin(α) = sin(π - α)
daher
2x = -π/6 + 2nπ ∨ 2x = π - (-π/6) + 2nπ ; n ϵ Z
Das führt zu ...
x = -π/12 + nπ ∨ x = 7π/12 + nπ ; n ϵ Z
... für n = 1 bzw. n = 0 zu
x_1 = 11π/12
x_2 = 7π/12
Zunächst habe ich aufgegriffen, dass dieses Ergebnis sich nicht innerhalb von I befindet.
... das kann ja auch niemals so sein. Der Sinus ist nur in den Quadranten III und IV negativ. Vermutlich meinst Du, dass Du positive x-Werte (Winkel) zu finden versuchst, für die die Gleichung gilt und vielleicht hilft dann das:
Oh ja, die Verbildlichung ist sehr hilfreich. Danke dir ! LG :)