Woher weiss der Taschenrechner dass sin (30°) 0,5 sind?

Trigonomische Funktionen stellen Verhältnisse da. Wenn man den Sinus betrachtet, wird das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse betrachtet. Bei 30° ist die Gegenkathete 0,5 mal so groß wie die Hypotenuse. Wenn ich den Einheitskreis zeichnen würde, dann könnte ich für jedes einzelne Grad die Gegenkathete ausmessen und mir eine Wertetabelle mit 360 Werten anlegen. Ist der Sinus entsprechend aus Messungen entstanden oder steckt dahinter eine Formel? Mit Formel meine ich jetzt nicht folgende trigonomische Formel: $\sin\left(α\right)\ =\ \frac{Gk}{Hyp}$ Mit einem gleichseitigen Dreieck kann ich ohne den Taschenrechner beweisen, dass $\sin\left(30\right)\ =\ 0,5\ und\ \sin\left(60\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\$ sind.

Kann ich auch ohne Taschenrechner und Zeichnung die restlichen 360 Werte der Gegenkathete ermitteln?

Answer 1

[ano78577]

Man kann den Sinus auch als Reihe darstellen, also aus einer Summe.

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[Piezbro]

Super. Vielen Dank! Konnte mit meinen alten Schlagwörten in der Suchmaschine nur falsche Ergebnisse ernten. Mit den Schlagwörtern "als Reihe darstellen" habe ich viele Ergebnisse erhalten, die mir helfen.

Answer 2

[ProfFrink]

Wenn Du die Formel von ano78577 ausprobieren möchtest, dann darfst aber für x nicht 30 einsetzen, sondern Du musst das Bogenmaß für den Winkel 30° einsetzen

x = 30*(pi/180) = 0,5235...

Nur dann kommt das erwartete Ergebnis heraus.

Bei der Reihe handelt es sich um eine Taylorreihe. Sie funktioniert zwar, hat aber ihre Tücken. Darum läuft in einem Taschenrechner der so genannte CORDIC Algorithmus.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

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[Piezbro]

Danke ProfFrink! In der Tat möchte ich die Formel ausprobieren. Die Info Taylorreihe, Bogenmass und CORDIC Algorithmus find ich gut. Vor allem der Tipp mit dem Bogenmass erspart mir schon mal viel Frust und Zeit beim ausprobieren!

Answer 3

[LORDderANALYSE]

Trigonometriche Funktionen haben verschiedene Darstellungsweisen.

So z.B. Reihenentwicklungen, Beziehung zu EXP-Funktionen, ...

So gilt z.B.

1)

2)

3)

mit

4)

(i als belibige imaginäre Einheit für welche gilt: "i² = -1")

...

Da kann man einfach den Winkel einsetzen und lösen...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

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[Willwissen100]

Dunkelblau auf schwarzem Grund? Echt jetzt?

[LORDderANALYSE]

@Willwissen100

Ja... Es ist wunderschön.

Das sind halt die Farben die ich eingestellt habe und ich war zu faul sie zu schwarz-weiß zu ändern.
Zudem macht es für mich Text leichter leserlich bzw. angenehmer zu lesesn.

[weckmannu]

@LORDderANALYSE

Ich glaube, dass kaum einer das lesen kann - ich nicht.

[LoverOfPi]

@weckmannu

Auf meinem Bildschirm wiederrum, sehe ich es sehr gut