Warum kommt bei Sinus und Kosinus etwas anderes raus?
Ich habe gerade Mathe Hausaufgaben gemacht und mir erschließt sich eine Sache nicht. Es geht um das Dreieck im Bild. Die Aufgabenstellung ist “Berechne die fehlenden Winkelgrößen.”
Sinus berechnet man Gegenkathete/Hypotenuse.
Kosinus berechnet man Ankathete/Hypotenuse.
Um Alpha jetzt auszurechnen, muss man sin(alpha)=7,9/10,2 rechnen.
Um Beta auszurechen, braucht man cos(beta)=7,9/10,2
Warum kommt da trotz gleicher Rechnung eine andere Lösung raus?
3 Antworten
Das ist deshalb so, weil sich Sinus und Kosinus auf unterschiedliche Winkel beziehen:
- Bei sin⁻¹(α) = 7,9/10,2 berechnest du den Winkel α, der zur Seite 7,9 gegenüberliegt.
- Bei cos⁻¹(β) = 7,9/10,2 beziehst du dich auf den Winkel β, der zur Seite 7,9 anliegt.
Die Winkel α und β sind komplementär, d.h. sie ergeben zusammengerechnet 90 Grad, was bedeutet: α + β = 90°
Daraus kann man bei einem rechtwinkligen Dreieck immer schließen: sin⁻¹(α) = cos⁻¹(90° − α)
Das erklärt, warum man trotz der "gleichen" Rechnung unterschiedliche Winkelwerte bekommt. Wenn du also sin⁻¹(α) = 7,9/10,2 berechnest, bekommst du einen Winkel α, und wenn du cos⁻¹(β) = 7,9/10,2 berechnest, bekommst du den Winkel β, der 90° - α ist.
Der Wert ist in beiden Fällen 7,9/10,2 also 0,774. Um auf den Winkel zu schließen musst du aber nochmal die Umkehrfunktion von Sinus bzw. Kosinus drauf anwenden. Und da kommt natürlich was anderes raus, weil das zwei verschiedene Funktionen sind.
Kein Plan ob ich das jetzt richtig verstanden habe, Mathe Unterricht ist schon was länger her bei mir. Aber ich würde das mal so erklären; Sinus und Kosinus beziehen sich auf unterschiedliche Winkel im Dreieck: Sinus nutzt die Gegenkathete des einen Winkels, während Kosinus die Ankathete des anderen Winkels verwendet. Beide Seitenverhältnisse können gleich sein, aber sie beziehen sich auf unterschiedliche Winkel, weshalb verschiedene Winkelgrößen als Ergebnis herauskommen.