Warum muss f'''(x) > 0 sein, damit es ein Rechts-Links-Wendepunkt ist?
Hi,
ich saß heute in einer Freistunde in einem anderen Mathekurs (Q1), diese haben heute das Thema Wendestellen besprochen. Die Lehrerin hat dann aufgeschrieben, dass wenn f'''(x) > 0 ist, es sich um einen Links-Rechts Wendepunkt handelt. Sie meinte sie hätte schon lange die Eselsbrücke, dass die Richtung der Öffnung der eckigen Klammer auch aussagt, von wo nach wo die Wendung geht (also wäre es z.B. beim > von links nach rechts, da die Öffnung der Klammer links ist).
Ich hatte das Thema in meinem Kurs allerdings schon und hab mir aufgeschrieben, dass es andersrum ist, sprich wenn es größer als null ist, gehts von rechts nach links. Unser Mathelehrer hatte uns auch kurz mündlich erklärt, warum das so ist - hatte das allerdings nicht mit geschrieben (weil die Info sowieso nicht relevant für uns wär).
Kann mir jemand kurz sagen, wie genau man da drauf kommt, bzw. gibts da irgendwie ne mathematische Herleitung für? Fällt mir irgendwie gerade nicht ein, hatte allerdings vor mir das nochmal aufzuschreiben, um das Ganze auch begründen zu können.
4 Antworten
bin mir nicht 100% sicher , aber
die erste Ableitung des Wendepunkts ist bei der x-Koordinate ein Extremwert
bei der zweiten Ableitung ist bei der Koordinate eine Nullstelle
und die dritte Ableitung gibt die Steigung der zweiten Ableitung an
Die kann + , - oder 0 sein ....denn es gibt auch die Möglichkeit des Terassenpunktes
Bei x³ ja
Die erste Ableitung stellt die Steigungen dar, die Steigungen rechts und links sind identisch, also wird es eine Parabel mit einem Extremwert,
weswegen es bei der dritten Ableitung eine Nullstelle wird.
Die Herleitung ist deutlich besser als meine, weil sie auch den Unterschied der geraden und ungeraden Ableitung erklärt.
Nimm z.B. x³ geht von links unten nach rechts oben
(x³)' = 3x²
(x³)'' = 6x
(x³)''' = 6 > 0
Im Prinzip geht es nicht um die dritte Ableitung, sondern um die Ableitung, die zum ersten Mal nicht 0 ist. Ist diese eine ungerade Ableitung und größer 0, dann geht es von unten links nach oben rechts, weil die Ableitung davor zwar 0 ist, aber linear. Ist sie kleiner 0, dann ist die Ableitung davor zwar auch 0 und linear, aber ein Strich nach unten.
Ist Ableitung, die zum ersten Mal nicht 0 ist, hingegen eine gerade Ableitung, dann ist es ein Maximum oder ein Minimum.
Bei der Kurvendiskussion geht es immer um Nullstellen mit Vorzeichenwechsel:
- f"(x₀)>0 heißt: die Steigung f' wächst. Der Berg wird immer steiler, oder der Abhang wird immer flacher ⇒ Linkskurve.
- f"(x₀)<0 heißt entsprechend Rechtskurve.
- f"(x₀)=0 ist ein Kandidat für einen Wendepunkt. Ist f" vor x₀ negativ und danach positiv, dann ist das ein Rechts-Links-Wendepunkt. Hat f" davor und danach dasselbe Vorzeichen, dann ist es kein Wendepunkt, sondern ein Flachpunkt.
Am sichersten ist es, das Vorzeichen von f" für zwei x-Werte (vor und nach x₀) auszurechnen. Das funktioniert immer. Du musst nur aufpassen, dass Du bei der Wahl von x<x₀ und x>x₀ keine andere Nullstelle von g oder eine Definitionslücke überspringst.
Eleganter und oft einfacher ist folgender Trick:
Du hast eine differenzierbare Funktion g mit einer Nullstelle g(x)=0. Wenn g'(x)>0 ist, dann steigt g an der Nullstelle, geht also von unten nach oben durch die x-Achse. Damit hast Du bei x sicher einen Vorzeichenwechsel von — nach +. Und g'(x)<0 garantiert Dir einen Vorzeichenwechsel von + nach —. Nur im Fall g'(x)=0 funktioniert dieser Trick nicht. Dann musst Du schwerere Geschütze auffahren oder schlicht g(x-1) und g(x+1) berechnen (x±1 ist hier nur beispielhaft).
Zurück zum Wendepunkt: Hier ist g=f" und g'=f' ' '. f' ' '(x₀)>0 garantiert Dir, dass f" in x₀ steigt, also einen Vorzeichenwechsel von — (Rechtskurve) nach + (Linkskurve) hat. Bei f' ' '(x₀)<0 ist es genau umgekehrt.
Also hier steht das es dann ein Rechts-Links Wendepunkt ist: