Wendetangente berechnen?
Wir haben in Mathe ein neues Thema angefangen und zwar Wendetangenten. Und zwar bin ich mir aber nicht sicher, ob ich das jetzt richtig gemacht habe. Ich habe von einer Funktion zuerst den Wendepunkt bestimmt (mit Hilfe von f'''). Da kam bei mir W (2|2) raus und es ist ein Rechts-Links-Krümmungswechsel. Und die Gleichung der Wendetangente muss ja y=mx + b sein oder ? Also habe ich in f' die x-Koordinate des Wendepunktes eingesetzt, um m, also die Steigung der Tangente zu berechnen. Da kam dann -1 raus. Dann habe ich in y= -1 x + b den Punkt W(2|2) eingesetzt und nach b aufgelöst und es kam b = 4 raus. Also ist die Gleichung der Wendetangente ja dann y = -1 x + 4 oder ?
4 Antworten
Der Weg zum lösen dieser Aufgabe lautet Schritt für Schritt:
1.) Die ersten 3 Ableitungen der zu betrachtenen Funktion bestimmen (hier zum Beispiel die Funktion f)
2.) Löse die Gleichung: f´´(x) = 0 ----> Lsg für x
3.) Setze die erhaltenen Lösungen für x in f´´´(x) ein und überprüfe ob f´´´(x) für besagte Lösungen ungleich 0 ist ----> Du erhälst die gesuchten Wendestellen
4.) Berechne die Koordinaten der Wendepunkte durch einsetzen der im vorherigen Schritt ermittelten gültigen Lösungen in die Ausgangsfunktion:
gültige Lsg für x ---> f(x)
Du hast nun also die gültigen Wendepunkte berechnet der Form W = ( x | f(x) )
5.) Bestimme nun die Steigungen der Tangenten an den Graphen in eben diesen Punkten durch einsetzen der X-Koordianten der gefundenen Wendepunkte in die erste Ableitung f´(x).
6.) Um die Gleichung der jeweiligen Wendetangente zu erhalten setze in folgende Gleichung ein, W = ( w(x) | w(y) ) sei dabei einer der ermittelten Wendepunkte :
g(x) = f´(w(x))*( x - w(x)) + w(y)
(oder ausführlicher)
Tangente(x) = {Steigung(in WP.)}*( x - {X_Koord.Wp}) + {Y_Koord.Wp.}
Ausrechnen liefert dir dann die bekannte Geradengleichung der Form:
y = m*x + b
Hier mal als kleines Beispiel (von Volens):
f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 4
_____________________1.)
f´(x) = 3x^2 - 12x + 11
f´´(x) = 6x - 12
f´´´(x) = 6
_____________________2.)
f´´(x) = 6x - 12 = 0 ----> x = 2 ist mögliche Wendestelle
_____________________3.)
f´´´(2) = 6 ungleich 0 -----> x = 2 ist Wendestelle
_____________________4.)
f(2) = 8 - 24 + 22 - 4 = 2
---> Wendepunkt W bei ( 2 | 2)
_____________________5.)
f´(2) = 12 - 24 + 11 = -1
---> Die Wendetangente besitzt die Steigung -1 .
____________________6.)
g(x) = (-1)*( x - (2) ) + (2) = -x + 4
{ " g(x) = Steigung*( x - X_Koord.) + Y_Koord. " }
Damit lautet schließlich die Gleichung der Wendetangente hier in diesem Fall in der Form y = m*x + b :
y = (-1)*x + 4
Ich habe mal rückwärts eine Funktion (von vielen) bestimmt, die die Bedingungen erfüllt.
Just for fun!
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 4
Bei dieser ist f(2) = 2
f '(2) = -1
f ''(2) = 0
(2|2) ist der Wendepunkt.
Die Tangente ist t(x) = -x + 4
Nachlieferung:
wir haben eine Kurvenschar f(x) = ax³ + bx² + cx + d
a frei wählbar
b = -6a c = 12a - 1 d = 4 - 8a
Für alle diese gelten die Bedingungen der Aufgabe.
Macht doch mal Spaß, ein wenig zu spielen.
:-)
ohne das jetzt konkret nachgerechnet zu haben - von der Idee und Herangehensweise ist dein Ansatz ok, genau so wird das gemacht.
Vollkommen richtig. (:
Danke danke danke, du rettest mich gerade, ich muss die Aufgabe nämlich morgen in Mathe vorstellen und war deshalb total verunsichert (auch wenn es ja eigentlich nicht so schlimm ist wenn ich einen Fehler mache aber trotzdem) aber jetzt bin ich beruhigt :)