Warum divergiert diese Folge nicht (Mathe)?
Die linke Teilfolge konvergiert ja gegen 0 und die rechte gegen unendlich. Das heißt doch, dass es eine konvergente Teilfolge gibt?
3 Antworten
Ein Folgenglied ist ein Tupel (a,b).
Damit zwei Tupel verschieden sind ist es hinreichend, dass nur eine der beiden Komponenten, a oder b, abweichen.
Also, selbst wenn die Folge in a konvergiert, solange die Folge in b divergiert, divergiert die Folge der Tupel.
Beispiel für eine divergente Folge mit zwei konvergenten Teilfolgen:
Diese Folge divergiert natürlich, (-1,-1) und (1, 1) wechseln sich ab. Aber:
Erste konvergente Teilfolge
Betrachten wir nur die geraden Folgenglieder, also für
erhalten wir die Teilfolge (1,1), (1,1), (1,1), ... die natürlich gegen (1,1) konvergiert.
Zweite konvergente Teilfolge
Betrachten wir nur die ungeraden Folgenglieder, also
erhalten wir (-1, -1), (-1,-1), (-1,-1), ... die klar gegen (-1,-1) konvergiert.
Okay, Du hast da etwas grundsätzlich missverstanden. Vielleicht kann ich es Dir so erklären:
Du sagst, diese Folge hat eine konvergente Teilfolge. Gegen welchen Wert konvergiert denn diese Teilfolge?
0 dachte ich. Weil ja der linke Teil 1/unendlich ist
Du gehst davon aus, der linke Eintrag ist eine Teilfolge, und der rechte auch, richtig?
genau. Und das ist ja zum glück nicht so anscheinend
Genau da liegt Dein Verständnisproblem, glaube ich.
Die beiden Einträge bilden zusammen ein Folgenglied, das lässt sich nicht trennen!
Die Folge sieht so aus:
(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), ...
Eine Teilfolge ist zum Beispiel:
(a_1, b_1), (a_3, b_3), (a_5, b_5), ...
Dort werden also einige Folgenglieder ausgelassen.
Wenn Du eine Teilfolge findest, die gegen einen Wert (a,b) konvergiert, dann hast Du eine konvergente Teilfolge gefunden. Hilft Dir das?
Also wenn z.B. eine Folge gegen (0, 3) konvergieren würde wäre das eine konvergente Teilfolge selbst wenn alle anderen Teilfolgen der Folge divergieren würden?
Richtig. Dann wäre das eine konvergente Teilfolge, aber die gesamte Folge mit i = 1,2,3,... wäre divergent.
Woher weiß man in diesem Fall ,dass i Element der natürlichen Zahlen ist? Da steht doch nur n>=1. Können das nicht dann auch alle reellen Zahlen sein?
Gute Frage!
Dass es eine natürliche Zahl sein muss, steckt in der Definition von "Folge".
Eine Folge ist eine Abbildung: N -> B, wobei N die natürlichen Zahlen bezeichnet.
B ist die Menge der Folgenglieder, in unserem Fall R x R, also Tupel aus zwei reellen Zahlen.
Ich habe Dir oben noch ein Beispiel für eine divergente Folge mit konvergenten Teilfolgen hingeschrieben.
Nein. Du solltest mal genauer nachsehen, was eine Teilfolge ist. Das scheinst du nicht verstanden zu haben.
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Bei Folgen der Form
im ℝ² ist
nicht eine Teilfolge. [Ich vermute nämlich, dass du das so meintest.]
Eine Teilfolge wäre da durch
mit einer injektiven Funktion
gegeben. Beispielsweise wären durch
oder durch
entsprechende Teilfolgen gegeben.
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Im konkreten Fall wäre 1/√(n) nicht eine Teilfolge von (1/√(n), n^(5/7)).
Beispielsweise wäre (1/√(2n), (2n)^(5/7)) eine Teilfolge von (1/√(n), n^(5/7)).
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Im konkreten Fall...
Wie du bereits selbst geschrieben hast, weist der rechte Teil n^(5/7) eine bestimmte Divergenz gegen +∞ auf.
Dann divergiert aber auch jede Teilfolge von n^(5/7) bestimmt gegen +∞.
Und zu jeder Teilfolge (aₙ, bₙ) der Folge (1/√(n), n^(5/7)) ist nun bₙ eine Teilfolge n^(5/7). Wie im vorigen Absatz bereits festgestellt divergiert dann bₙ. Und da bₙ divergiert, divergiert dann auch (aₙ, bₙ).
Ergebnis: Es gibt keine konvergente Teilfolge (aₙ, bₙ) der Folge (1/√(n), n^(5/7)). Jede Teilfolge von (1/√(n), n^(5/7)) divergiert.
Das heißt doch, dass es eine konvergente Teilfolge gibt?
Nein, denn durch die rechte Teilfolge ist jede Teilfolge Divergent,
Ja dadurch divergiert die gesamte folge aber die erste ist doch eine konvergente teilfolge weil diese gegen 0 geht. Oder nicht?
ja genau. Und ich habe als antwortmöglichkeit gewählt, dass die folge divergiert aber eine konvergente Teilfoge hat. Dies hat das System aber als falsch gewertet