bedeutet: A ist wahr, genau dann, wenn B wahr ist.
Oder anders formuliert:
Aus A folgt B, und aus B folgt A.
In Deinem Fall:
Gleichung A ist erfüllt, wenn Gleichung B erfüllt ist, und umgekehrt.
Wie kommst Du denn auf Es müsste sein.
wobei gilt, dass im Intervall einer Folge: (1-Epsilon. 1+Epsilon) plötzlich ab einem gewissen Folgenglied an alle folgenden Folgeglieder in diesem Intervall liegen, so hat die Folge an hier einen Häufungspunkt
Das ist der Spezialfall, in dem es nur einen Häufungspunkt gibt. In diesem Fall ist die Folge konvergent (gegen diesen Häufungspunkt). Folgen können aber durchaus mehrere Häufungspunkte besitzen, die allgemeine Definition lautet dann ungefähr:
wobei gilt, dass im Intervall einer Folge: (1-Epsilon. 1+Epsilon) plötzlich alle ab einem gewissen Folgenglied a_N unendlich viele Folgeglieder in diesem Intervall liegen, so hat die Folge an hier einen Häufungspunkt
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Hierbei schon eine kleine Frage: Gilt diese mathematische Beschreibung "Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall" nur für Nullfollgen?
Könntest Du vielleicht nochmal erklären, was Du damit genau meinst?
Nun ist die Frage, wie bestimmt man durch vollständigen Beweis die Häufungspunkte?
So, wie Du es erklärt hast. Zerlege die Folge in Teilfolgen und zeige, dass diese konvergieren.
Kann ich diese verschiedenen Definitionen als jene vielfältige Möglichkeiten verstehen, die es uns ermöglichen, Rückschlüsse auf Konvergenz/Divergenz zu ziehen?
Definitiv!
"Für alle" ersetzt man mit dem Allquantor, "Es existiert" mit dem Existenzquantor.
ist äquivalent zu
NAND bedeutet
Überlege Dir, wie Du ein NICHT und ein UND aus NANDs bauen kannst.
Dort wurden die Klammern ausmultipliziert:
Und das dann multipliziert mit (x-1).
Zur Verdeutlichung der Notation:
ist eine Zahl, die von n abhängt.
Wie immer, zuerst der Induktionsanfang (a.k.a. Induktionsverankerung): Wie sieht
für n = 1 aus?
Also existiert eine solche Zahl für n = 1, nämlich Kannst Du als nächstes die Induktionsannahme formulieren?
Wir nehmen an dass A und B gelten, und schließen daraus C.
Wir wählen x so, dass
Ein solches x existiert nach A.
Da a(x), folgt aus B
Also gilt für x:
Also ist C wahr und folgt aus A und B.
Das kannst Du hier selbst ausprobieren, indem Du an den Schiebereglern drehst. Die Variable, die in Deiner Aufgabe b heißt, heißt dort p.
Bei (i) zum Beispiel:
Sei
Dann gilt
usw.
Wenn Du die Aussage mit Hilfe der Boolschen Logik weiter richtig umformst, landest Du am Ende bei
was beweist, dass die Menge auf der linken Seite der Gleichung in der Menge auf der rechten Seite enthalten ist.
Als nächstes nimmst Du umgekehrt an, dass
und formst diesen Ausdruck wieder um, bis Du bei der linken Seite ankommen bist.
Dann ist gezeigt, dass auch die rechte Menge in der linken Menge enthalten ist.
Und damit ist die Gleichheit beider Mengen bewiesen.
Vielleicht hilft diese Integraltafel.
In Kapitel 6 gibt es auch einiges zu Bessel-Funktionen.
In Office 365: Einfügen -> Gleichung -> Symbole -> Doppelpfeil nach rechts
Die partielle Ableitung wird nach der gefragten Variable gebildet, während alle anderen Variablen als Konstanten behandelt werden.
z.B.
a, t und y werden als Konstanten behandelt, also ist der rechte Summand gleich 0. Es bleibt
Das Haus der Mathematik ist dann wohl rechteckig.
Rechne den Umfang aus (zwei mal die kurze plus zwei mal die lange Seite). Rechne dann die Länge der Wimpelkette aus und vergleiche den Umfang des Hauses der Mathematik mit der Länge der Wimpelkette.
Wenn Du die Bücher nur für kurze Zeit brauchst, kannst Du sie in einer Bibliothek ausleihen.
Ansonsten bieten Schulen in der Regel eine kostenlose Schulbuchleihe an.
Könnte nützlich sein:
Ja, auch Potenzfunktionen haben diese "Vektoreigenschaft".
Wenn man Potenzfunktionen addiert oder mit einem Skalar multipliziert erhält man wieder eine Potenzfunktion.
Lineare und Quadratische Funktionen sind ja wiederum Polynome.
Mengen, die diese Eigenschaft besitzen, bezeichnet man übrigens als Vektorraum.
Darüber hinaus gibt es Vektorräume mit speziellen Eigenschaften. Für zwei reelle Vektoren lässt sich z.B. ein Skalarprodukt definieren. Tatsächlich gibt es auch Skalarprodukte für bestimmte Funktionenräume, z.B. für reelle Funktionen, die quadratisch integrierbar und beschränkt sind (siehe hier). Solche Vektorräume mit Skalarprodukt bezeichnet man als Hilbertraum.
Hallo Svantje,
Deine Lösungen sind größtenteils richtig.
Aufgabe 1
a) ✔️ b) ✔️
Probe gerechnet ✔️
Aufgabe 2
a) ✔️ b) ✔️
Darfst Du hier den Taschenrechner verwenden? Kannst Du das auch von Hand lösen?
Aufgabe 3
a) ✔️ b) ✔️ c) ✔️ d) ✔️
Aufgabe 4
a) ✔️
b) Den Mittelpunkt hast Du richtig berechnet, die Höhe stimmt nicht. Stünde die Pyramide gerade, wäre es korrekt. Denk nochmal drüber nach welche Strecke Du hier berechnen musst.
c) Falsch. Du möchtest hier einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen, von dem Du schon zwei der Seitenlängen kennst. Du brauchst dafür gar kein Skalarprodukt.
Sonst hast Du alles sorgfältig und verständlich aufgeschrieben. Mach Deine Hausaufgaben immer so ordentlich, nicht nur wenn sie benotet werden.
Dann sehe ich keinen Grund warum Mathe nicht doch noch Dein Lieblingsfach werden könnte 😉
Manchmal klappt es mit partieller Integration, manchmal durch Substitution, manchmal wird man in Integraltafeln fündig oder stellt fest dass die Integrantin eine besondere (bekannte) Form hat, oder es gelingt durch wildes Herumprobieren.
Und manchmal ist (oder bleibt) unklar, ob überhaupt eine Stammfunktion existiert.
So wie es da steht kommt +476 raus.